Question

[Hồ Đặng Thùy Trâm]

Cho tam giác ABC cân tại A,kẻ hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H.Chứng minh rằng:

1)Tam giác ABM=tam giác ACN

2)Tam giác BMC=Tam giác CNB

3)AMN là tam giác gì

4) MN song song với BC

Answer 1

[『Kuroba ム Tsuki Ryoo ︵²ᵏ⁷』]

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`1)`

Vì `\Delta ABC` cân tại A.

`-> \text {AB = AC, }` $\widehat {B} = \widehat {C}$

Xét `\Delta ABM` và `\Delta ACN`:

`\text {AB = AC}`

$\widehat {A} \text { chung}$

$\widehat {ANC} = \widehat {AMB} (=90^0)$

`=> \Delta ABM = \Delta ACN (ch-gn)`

`2)`

Xét `2 \Delta` vuông `BMC` và `CNB`:

$\widehat {B} = \widehat {C}$

`\text {BC chung}`

`=> \Delta BMC = \Delta CNB (ch-gn)`

`3)`

Vì `\Delta BMC = \Delta CNB (b)`

`-> \text {BN = CM (2 cạnh tương ứng)}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AN + NB}\\\text{AC = AM + MC}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AC}\\\text{BN = CM}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AM = AN}`

Xét `\Delta AMN`:

`\text {AM = AN}`

`-> \Delta AMN` cân tại A.

`4)`

Kẻ đường cao AI

Vì AI đi qua MN

`-> \text {AI} \bot \text {MN}`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AI }\bot\text{ MN}\\\text{AI }\bot\text{ BC}\end{matrix}\right.\)

`@` Theo tiên đề euclid

`-> \text {MN // BC}`

Hoặc bạn có thể giải cách này

Vì `\Delta AMN` cân tại A

\(\rightarrow\widehat{\text{AMN}}=\widehat{\text{ANM}}=\dfrac{180^0-\widehat{\text{A}}}{2}\) `(1)`

Vì `\Delta ABC` cân tại A

\(\rightarrow\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{180^0-\widehat{\text{A}}}{2}\) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`->` \(\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ANM}}\)

Mà `2` góc này ở vị trí sole trong

`-> \text {MN // BC (t/c 2 đt' //).}`

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

AB=AC

góc BAM chung

=>ΔABM=ΔACN

2: Xét ΔNBC vuông tại N và ΔMCB vuông tại M có

BC chung

góc NBC=góc MCB

=>ΔNBC=ΔMCB

3: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

4: AM/AC=AN/AB

=>MN//BC