Question

[Hoài Thu Vũ]

a) Cho biểu thức
 P= ($\frac{x}{x-1}$- $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$- $\frac{1}{\sqrt{x}+1}$).($\frac{4\sqrt{x}-8}{x\sqrt{x}-4x+4\sqrt{x}}$), với x>0, x $\neq$1, x $\neq$4. Tìm các số nguyên x để P nhận giá trị nguyên dương.
b) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện: x+y+z=0 và xyz $\neq$0. Tính giá trị biểu thức
     P= $\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}$ +$\frac{y^2}{z^2+x^2-y^2}$ +$\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}$ 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(P=\dfrac{x-\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+1}{x-1}\cdot\dfrac{4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(x-1\right)}=\dfrac{4}{x-1}\)

Để P nguyên dương thì x-1 thuộc {1;4;2}

=>x thuộc {2;5;3}

b: x+y+z=0

=>x=-y-z; y=-x-z; z=-x-y

\(P=\dfrac{x^2}{y^2+z^2-\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y^2}{z^2+x^2-\left(x+z\right)^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2-\left(x+y\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{-2yz}+\dfrac{y^2}{-2xz}+\dfrac{z^2}{-2xy}\)

\(=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\cdot\left(-1\right)\)

\(=-\dfrac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)

\(=-\dfrac{\left(-z\right)^3+z^3-3xy\cdot\left(-z\right)}{2xyz}=-\dfrac{3}{2}\)