cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=xyz . CMR : \(\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}\le\frac{9}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 9 2018
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
15 tháng 7 2017
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
KN
9 tháng 12 2020
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
10 tháng 6 2019
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
KN
28 tháng 4 2020
Đặt \(\frac{1}{1+x}=a\);\(\frac{1}{1+y}=b\);\(\frac{1}{1+y}=c\). Lúc đó a + b + c = 1
Ta có: \(a=\frac{1}{1+x}\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{\left(a+b+c\right)-a}{a}=\frac{b+c}{a}\)(Do a + b + c = 1)
Tương tự ta có: \(y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{3}{2}\)
Ta đi chứng minh \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)\(\le\frac{3}{2}\)
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)*đúng*
Vậy \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
VT
21 tháng 10 2019
Nhân cả 2 vế với xyz bất đẳng thức sẽ thành yz+ xz+xy+yz\(\sqrt{1+x^2}\)+xz\(\sqrt{1+y^2}+xy\sqrt{1+z^2}\le x^2y^2z^2\)
Ta có yz\(\sqrt{1+x^2}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz}.\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\)\(\sqrt{yz}.\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)\(\le\)\(yz+\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4}\)(2ab\(\le a^2+b^2\))
làm tương tự ta được xz\(\sqrt{1+x^2}\le xz+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4};xy\sqrt{1+z^2}\le xy+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4}.\)
vế trái \(\le\) 2(xy+yz+zx) + \(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+x\right)\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4}\)\(\le2.\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2+\frac{\frac{1}{3}\left(x+y+y+z+z+x\right)^2}{4}=\left(x+y+z\right)^2=x^2y^2z^2.\)
[ (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 \(\ge0\)<=>\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\) áp dụng vào trên)
dấu '=' xảy ra khi x=y=z \(\sqrt{3}\)
24 tháng 4 2020
Bài 1 :
Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
( xy+yz + zx )(9 + x2y2 +z2y2 + x2z2 ) \(\ge\)36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\) ( 1)
Và 9 + x2y2 + z2y2 + x2z2 \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)
hay 9+ x2y2 + z2y2+ x2z2 \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\) (2)
Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :
( xy + yz +zx )( 9+ x2y2 + z2y2 + x2z2 ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1
Bài 2:
\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)
Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
