Cho x,y >0 và x+y=1. Tìm min \(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x.y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
ND
2
HF
15 tháng 8 2020
+) \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x^2}{x\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{y\sqrt{1-y^2}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}\)
+) \(A=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\)
\(A^2=x^2+y^2-y^4-x^4+2xy\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)
+) \(B=x^2+y^2-x^4-y^4=x^2+\left(1-x\right)^2-x^4-\left(1-x\right)^4\)
\(-\frac{B}{2}+\frac{3}{16}=x^4-2x^3+2x^2-x+\frac{3}{16}=\left(x^2-x+\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow B\le\frac{3}{8}\)
+) \(A^2\le\frac{3}{8}+2\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\sqrt{1-x^2-y^2+x^2y^2}\)
\(\le\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+) \(P=\frac{1}{A}\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
* Mình làm hơi tắt và có vẻ hơi dài
N
15 tháng 8 2020
Từ điều kiện đề bài ta có: \(P=\frac{x}{\sqrt{y^2+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+2xy}}\)
Theo Holder: \(P.P.\left[x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)\right]\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Rightarrow P^2\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\) (*)
Xét: \(\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}-\frac{4}{3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\ge0\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(P\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1\2
30 tháng 12 2017
một khu đất hình chữ nhật có chu vi bằng 65 chiều rộng bằng 1/4 chiều dai, nguoi ta đao ao hết 62,5%diện tích khu đấtdiện tích còn lại để trồng hoa.Tính dienj tích tròng hoa?
30 tháng 12 2017
\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1-\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y}\)
\(=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1-\frac{1}{x^2y^2}+\frac{2xy}{x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=1+\frac{2}{xy}\)
Lại có: \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{xy}\ge8\)
\(\Rightarrow A\ge9\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy.......
AQ
1
5 tháng 7 2020
Ta có: \(A=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{2xy}+8xy\right)-4xy\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}.8xy}-\left(x+y\right)^2=4+4-1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0,5.
VD
4
AQ
1
N
31 tháng 8 2016
ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)(dấu = xảy ra khi \(\left(y+z\right)^2=4x^2\)↔y+z=2x)
tương tự ta có:\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(dấu = cũng xảy ra khi x+z=2y;x+y=2z)
cộng từng vế ta có:P+\(\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
→P\(\ge\frac{x+y+z}{2}\)mà x+y+x=1
\(P\ge\frac{1}{2}\)↔\(\begin{cases}y+z=2x\\x+z=2y\\x+y=2z\end{cases}\)→x=y=z=1/3
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=\frac{4}{1}+\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=6\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=1\\\left(x-y\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
\(xy\le\frac{\left(x^2+^2\right)}{2}\)nên \(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)
\(K_{min}=6\)dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)