1) Cho a,b,c >0. abc=1. cmr: (a+b)(b+c)(c+a)>= 2(1+a+b+c)
2) cho x,y,z>0 và \(^{x^2+y^2+z^2=3}\). cmr: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}>=3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 1 2018
2. Có : 1/x + 1/y + 1/z = 0
=> 1 + x/y + x/z = 0 => x/y + x/z = -1
Tương tự : y/x + y/z = -1 ; z/x + z/y = -1
=> x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y = -3
Lại có : 1/x+1/y+1/z = 0
<=> xy+yz+zx/xyz = 0
<=> xy+yz+zx = 0
Xét : 0 = (xy+yz+zx).(1/x^2+1/y^2+1/z^2)
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2+x/y+y/x+y/z+z/y+z/x+x/z
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2-3
=> xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2 = 3
=> ĐPCM
Tk mk nha
15 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Rightarrow b+c\ge4a.4bc=16abc\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2020
a/ \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\sqrt{c}}\)
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(VT\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(VT=\sum\frac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\sum\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\)
\(VT\le\sum\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\sum\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
9 tháng 3 2020
Bài 1 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\left(\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)+\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}\right)+\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(+3\sqrt[6]{abc}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
15 tháng 6 2018
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1)
=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] =>
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2)
Thực hiện tương tự ta cũng có
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3)
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Bài 1:
a) Từ đkđb:
$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$
$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$
$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.
Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$
Do đó:
$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$
$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$
$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$
$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)
b)
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$
Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
CMR: $x^2+y^2+z^2=1$
-----------------------------------
Thật vậy:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)
Vậy........
T
5 tháng 7 2019
Em(mình) thử nhé, ko chắc đâu
3/ Ta có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc\)
\(=\left[ab\left(a+b\right)+abc\right]+\left[bc\left(b+c\right)+abc\right]+\left[ca\left(c+a\right)+ca\right]-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)ab+\left(a+b+c\right)bc+\left(a+b+c\right)ca-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)= -abc
Suy ra \(P=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Vậy..
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 11 2019
a/ Nhân cả tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của nó và rút gọn:
\(VT=\sqrt{a+3}-\sqrt{a+2}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\)
\(=\sqrt{a+3}-\sqrt{a}=\frac{3}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)
b/ \(VT=\frac{x}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{y}{y\left(x+y+z\right)+zx}+\frac{z}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (1)
Mặt khác ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Thật vậy, \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\)
Mà \(xyz\le\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\) (theo AM-GM)
\(\Rightarrow\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) (đpcm)
Thay vào (1) \(\Rightarrow VT\le\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?