a) Cho các số a, b, c không âm. CMR: \(\sqrt{ab} \sqrt{bc} \sqrt{ca}\le a b c\)b) Cho các số a, b, c là các số dương. CMR: \(\frac{a b}{c} \frac{b c}{a} \frac{c a}{b}\ge6\)c) Với a, b, c là các số dươ...

CC

Chi Cay

6 tháng 7 2015

a) Cho các số a, b, c không âm. CMR: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)b) Cho các số a, b, c là các số dương. CMR: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)c) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm max Q...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

NT

Nguyễn Thị BÍch Hậu

6 tháng 7 2015

tách ra mình làm cho. để cả đống này k làm đc đâu

Đúng(0)

DT

Đinh Thu Hiền

11 tháng 5 2016

ý a, áp dụng BĐT cô si có

a + b >= căn ab dấu = xay ra a=b

b + c >= căn bc dau = xay ra khi b=c

c+a >= căn ac dau = xay ra khi a=c

công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh

Đúng(0)

LM

Lê Minh Đức

16 tháng 5 2017

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). CMR:

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 9

1

TT

Triệu Tuyên Nhâm

16 tháng 5 2017

Ta có

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{c+a}}.\sqrt{\frac{b}{c+b}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

Tương tự, ta có

\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+a}\right)}\)

Cộng vế theo vế của 3 bđt ta được đpcm

Đúng(0)

DT

Dương Thiên Tuệ

13 tháng 12 2017

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b>0,b+c>0,c+a>0/

Chứng minh rằng

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\ge6\)

#Toán lớp 9

0

MN

Minh Nguyễn Cao

6 tháng 8 2019

Câu hỏi hay

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc

CMR: \(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

#Toán lớp 9

6

NT

Nguyễn Tất Đạt

7 tháng 8 2019

Từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) (*) (Vì a,b,c > 0)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\le\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Đánh giá tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

Từ đó, kết hợp với (*) suy ra:

\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}.4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)

Đúng(0)

ET

( էҽąണ ๖ۣۜTαм ๖ۣۜGĭá¢ ๖ۣۜQυỷ )____...

26 tháng 4 2020

kết bạn với mình không

Đúng(0)

NM

Nguyễn Mai

22 tháng 9 2020

Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:

\(\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

#Toán lớp 9

1

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

22 tháng 9 2020

Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)

Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)

Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)

Theo BĐT AM-GM ta có:

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng BĐT cauchy ta được:

\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c

Đúng(0)

FF

fan FA

20 tháng 3 2019

Cho a , b , c là các số thự dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

CMR \(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge6\)

#Toán lớp 9

2

CT

Cố Tử Thần

20 tháng 3 2019

sử dụng bdt bunhiacopxki có đc ko bn

Đúng(0)

AN

alibaba nguyễn

21 tháng 3 2019

\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)

Đúng(0)

NT

Nano Thịnh

24 tháng 6 2020

Cho a + b + c = 1 và a,b,c là các số thực dương. CMR: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 6 2020

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng vế với vế: \(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

17 tháng 4 2020

Cho các số a, b, c > 0 sao cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\). CMR: \(\sqrt{\frac{a}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c}{c+ab}}\le\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 8

1

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

20 tháng 4 2020

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

\(\sqrt{\frac{a}{a+bc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+abc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{b+ca}}=\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}};\sqrt{\frac{c}{c+ab}}=\frac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\le\frac{a}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)\)

\(=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=3\)

Đúng(0)

K

KWS

20 tháng 1 2019

Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn : \(a+b+c=3\). CMR :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 8

2

X

X1

20 tháng 1 2019

Theo đề ra ta có :

\(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)

và : \(ab+bc+ca\le3\)

Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)

và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)

Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

20 tháng 1 2019

ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)

Đúng(0)

PN

Phan Ngô Ngọc Bích

1 tháng 5 2020

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1. CMR:

\(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}}\le\sqrt{2}\) và \(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}\le\frac{5}{4}\)

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP