Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(N\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow MN\parallel BC\)
\(AB \bot BC \Rightarrow MB \bot BC \Rightarrow d\left( {MN,BC} \right) = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
b) \(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(P\) là trung điểm của \(A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MP\parallel BD\\B{\rm{D}} \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MP\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow MB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {MP,\left( {BCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right) = MB = \frac{a}{2}\)
c)
\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel BC\\B{\rm{C}} \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MP\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN,MP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNP} \right)\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right) = MB = \frac{a}{2}\)
a) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD), (SAB) và (SAB) có giao tuyến SA => SA vuông góc (ABCD)
=> BC vuông góc SA. Mà BC vuông góc AB nên BC vuông góc (SAB).
Ta cũng có BD vuông góc AS, BD vuông góc AC vì ABCD là hình vuông
=> BD vuông góc (SAC) hay (SAC) vuông góc (SBD).
b) Gọi M là trung điểm của AB, CM cắt AD tại P, H thuộc CM sao cho AH vuông góc CM, K thuộc SH sao cho AK vuông góc SH.
Dễ thấy AN || CM => AN || (SCM) => d(AN,SC) = d(AN,SCM) = d(A,SCM) = d(A,SMP)
Ta có AH vuông góc MP, MP vuông góc AS => MP vuông góc (HAS) => (SMP) vuông góc (HAS)
Vì (SMP) và (HAS) có giao tuyến SH, AK vuông góc SH tại K nên d(A,SMP) = AK
Theo hệ thức lượng thì: \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\)
\(\Rightarrow d\left(AN,SC\right)=d\left(A,SMP\right)=AK=\frac{AS.AM.AP}{\sqrt{AS^2AM^2+AM^2AP^2+AP^2AS^2}}\)
\(=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.a}{\sqrt{2a^2.\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}.a^2+a^2.2a^2}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot AH\\AH \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
a) Trong (SAC) kẻ \(AH \bot SC \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = AH\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét ta giác SAC vuông tại A có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = a\)
\( \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = a\)
b) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
c) Trong (SAC) kẻ \(OK \bot SC\)
\(\begin{array}{l}OK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\ \Rightarrow d\left( {SC,BD} \right) = OK\end{array}\)
Xét tam giác AHC vuông tại H có
O là trung điểm AC
OK // AH (cùng vuông góc SC)
\( \Rightarrow \) OK là đường trung bình \( \Rightarrow \) \(OK = \frac{1}{2}AH = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = \frac{a}{2}\)
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\)
\(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow SH \bot AC\)
Mà \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)
Lại có \(AC \bot BC\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)
b) \(SAC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI \bot SC\)
\(BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\\AI \subset \left( {ABI} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB
=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).
b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)
=> (SC,SAB) = ^CAB
\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)
\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 300.
c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.
BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC
=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).
Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD
=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)
a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow BC\parallel A{\rm{D}}\)
Mà \(A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow BC\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SA{\rm{D}}} \right)} \right) = AB = a\)
Vậy \(d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = a\).
b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot A{\rm{C}}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\)
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\), kẻ \(OH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\)
\(B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow B{\rm{D}} \bot OH\)
\( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = OH\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 3 \)
\(\Delta SAC \backsim \Delta OHC\,(g.g) \Rightarrow \frac{{SA}}{{OH}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow OH = \frac{{SA.OC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).