cho tam giác ABC nhọn,Đường thẳng d vuông góc với AB tại A.tia phân giác của góc B cắt đường cao AH tại I và cắt đường thẳng d tại D.a)chứng minh tam giác AID cân b)kẻ DK vuông góc với BC tại K.Chứng minh tam giác ADI=tam giác KDI.c)trên tia đối của tia HI lấy E sao cho HE=HI.Chứng minh tứ giác ADKE là hình thang cân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Ta có: \(\widehat{BIH}+\widehat{IBH}=90^0\)
mà \(\widehat{AID}=\widehat{BIH}\)
nên \(\widehat{AID}+\widehat{DBC}=90^0\)
mà \(\widehat{ADI}+\widehat{ABD}=90^0\)
và \(\widehat{DBC}=\widehat{ABD}\)
nên \(\widehat{AID}=\widehat{ADI}\)
hay ΔAID cân tại I
a) Xét tam giác vuông BHI có \(\widehat{BIH}=90^o-\widehat{IBH}\)
Xét tam giác vuông ABD có \(\widehat{BDB}=90^o-\widehat{ABD}\)
Lại do BD là phân giác nên \(\widehat{IBH}=\widehat{ABD}\). Vậy thì \(\widehat{BIH}=\widehat{ADI}\)
Lại có \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\) (Hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat{ADI}=\widehat{AID}\) hay tam giác AID cân tại A.
b) Do BD là phân giác nên DA = DK (Tính chất điểm thuộc tia phân giác)
Lại theo câu a, tam giác ADI cân tại A nên AD = AI. Vậy thì AI = DK
Ta có AH// DK (Cùng vuông góc với BC) nên \(\widehat{AID}=\widehat{IDK}\) (so le trong)
Vậy ta có \(\Delta AID=\Delta KDI\left(c-g-c\right)\)
c) Xét tam giác IEK có IH = HE nên KH là trung tuyến. Lại có KH cũng là đường cao. Vậy tam giác IEK cân tại K hay \(\widehat{HIK}=\widehat{HEK}\)
Lại có \(\widehat{HIK}=\widehat{IKD}\) (so le trong) nên \(\widehat{HEK}=\widehat{IKD}\)
Theo câu b, \(\Delta AID=\Delta KDI\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{IKD}\)
Vậy nên \(\widehat{HEK}=\widehat{IAD}\)
Xét tứ giác ADKE có DK // AE nên nó là hình thang. Lại có \(\widehat{HEK}=\widehat{IAD}\) nên ADKE là hình thang cân.
(Có các cách chứng minh khác nhưng vì mới đầu lớp 8 nên cô sử dụng kiến thức liên quan đã học)
a) Gọi G, F lần lượt là chân đường vuông góc từ O kẻ xuống AB và AC
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AB(gt)
mà OG⊥AB(gt)
nên G là trung điểm của AB
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AC(gt)
mà OF⊥AC(gt)
nên F là trung điểm của AC
Ta có: AG=AB2AG=AB2(G là trung điểm của AB)
AF=AC2AF=AC2(F là trung điểm của AC)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AG=AF
Xét ΔAGO vuông tại G và ΔAFO vuông tại F có
AO chung
AG=AF(cmt)
Do đó: ΔAGO=ΔAFO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: ˆGAO=ˆFAOGAO^=FAO^(hai góc tương ứng)
hay ˆBAO=ˆCAOBAO^=CAO^
mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC
nên AO là tia phân giác của ˆBACBAC^(đpcm)
c) Xét ΔAOB và ΔAOC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
ˆBAO=ˆCAOBAO^=CAO^(cmt)
AO chung
Do đó: ΔAOB=ΔAOC(c-g-c)
Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ˆABC+ˆKBC=ˆABKABC^+KBC^=ABK^(tia BC nằm giữa hai tia BA,BK)
nên ˆABC+ˆKBC=900ABC^+KBC^=900(1)
Ta có: ˆACB+ˆKCB=ˆACKACB^+KCB^=ACK^(tia CB nằm giữa hai tia CA,CK)
nên ˆACB+ˆKCB=900ACB^+KCB^=900(2)
Từ (1) và (2) suy ra ˆABC+ˆKBC=ˆACB+ˆKCBABC^+KBC^=ACB^+KCB^
mà ˆABC=ˆACBABC^=ACB^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên ˆKBC=ˆKCBKBC^=KCB^
Xét ΔKBC có ˆKBC=ˆKCBKBC^=KCB^(cmt)
nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: KB=KC(hai cạnh bên)
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có
BC chung
ˆEBC=ˆDCBEBC^=DCB^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: ˆBCE=ˆCBDBCE^=CBD^(hai góc tương ứng)
hay ˆHBC=ˆHCBHBC^=HCB^
Xét ΔHBC có ˆHBC=ˆHCBHBC^=HCB^(cmt)
nên ΔHBC cân tại H(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: HB=HC(hai cạnh bên)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OB=OC(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: HB=HC(cmt)
nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: KB=KC(cmt)
nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra A,O,H,K thẳng hàng(đpcm)
a) Áp dụng định lí Pi - ta - go cho tam giác ABC vuông tại A có :
AB^2+AC^2 =BC^2hay AC^2=15^2-9^2=144 hay AC=12
b)Xét tam giác ABE và DBE có :
Góc A=góc B(=90 độ)
BA=BD(gt)
Chung cạnh BE
suy ra tam giác ABE= BDE (c.g.c)
c) Từ tam giác ABE=BDE(cm ở ý b) suy ra góc ABE = góc DBE (2 góc tương ứng )
Suy ra BE là tia phân giác cua góc ABC
Xét tam giác BDK và BAC có :
Chung góc B
BA=BD(gt)
góc D = góc A (=90 độ)
suy ra tam giác BDK=tam giác BAC (g.c.g)
suy ra AC=DK (2 cạnh tương ứng )
( Mình chỉ làm được ý a,b,c thôi , mình ngại vẽ hình . Nếu đúng kết bạn với mình nhé )