Cho \(a,b,c\) là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c\) chia hết cho \(12\). Chứng minh: \(P=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc\) chia hết cho \(12\).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề bài bị sai, ví dụ với \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\) thì \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\) chia hết cho 5 nhưng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) ko chia hết cho 5
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do 5 là số nguyên tố, nên trong 3 nhân tử \(a^3+b^3;b^3+c^3;c^3+a^3\) phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a^3+b^3⋮5\) \(\Rightarrow a;b\) đều chia hết cho 5 hoặc đều ko chia hết cho 5
Nếu \(a+b\) ko chia hết cho 5:
- a;b đồng dư khi chia 5 \(\Rightarrow\) \(a^3+b^3\) chia 5 dư lần lượt là 2;3;3;2\(\Rightarrow\) ko chia hết cho 5 (ktm)
- a;b khác số dư khi chia 5, do vai trò của a;b là như nhau và a+b ko chia hết cho 5 nên ta có các trường hợp sau:
+ a chia 5 dư 1: nếu b chia 5 dư 2 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -2 (ktm), nếu b chia 5 dư 3 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -3 (ktm)
+ a chia 5 dư 2, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 2 (ktm)
+ a chia 5 dư 3, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 3 (ktm)
\(\Rightarrow a+b\) ko chia hết cho 5 thì \(a^2+b^2-ab\) cũng ko chia hết cho 5
\(\Rightarrow a^3+b^3\) ko chia hết cho 5 (mâu thuẫn giả thiết)
Vậy \(a+b⋮5\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮5\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
Do \(a+b+c\) chia hết 12 nên \(a+b+c\) chẵn
\(\Rightarrow\) Trong số a;b;c phải có ít nhất 1 số là chẵn
\(\Rightarrow abc\) chẵn hay \(abc=2k\) với k là số nguyên nào đó
Ta có:
\(P=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-5abc\)
\(=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-3abc\)
\(=ab\left(a+b\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc+ca\left(c+a\right)+abc-6abc\)
\(=ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)-6abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-6abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-12k\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮12\\12k⋮12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P⋮12\) (đpcm)