Question

[Le Thi Khanh Huyen]

CM :

\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó CMR:

\(M=\sqrt[4]{\frac{a}{a+b}}+\sqrt[4]{\frac{b}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{c+a}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Answer 1

[Nguyen Tran Tuan Hung]

 a) có nhiều cách chứng minh 
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b) 
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) 
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*) 

ad bđt cô si cho 3 số: 
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a) 
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a) 

nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9 
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c 
- - - 
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b) 
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b) 

Thấy: M + N = 3 
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số) 
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si) 

=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c 
-------------- 
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5 
- - - 
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*) 
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0 
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*) 
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*) 

lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi x = y = 1/5 
------------- 
c) ad bđt cô si cho 3 số: 
ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3.³√(ab/c)(bc/a)(ca/b) = 3.³√abc 
- - - - 
nếu như đề đã ghi, thay a = b = c = 2 thì VT = 2+2+2 = 6 < VP = 2.2.2 = 8  

Answer 2

[Vongola Famiglia]

*C/m: \(9(a+b)(b+c)(c+a)\ge8(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc\ge0\)

\(VT=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\ge6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

# Dôn lùng đợi chiều tối về t giải phần căn bậc 4 kia cho :)