Question

[Kim Khánh Linh]

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $B C=6$cm. Trên nửa đường tròn lấy điểm $A$ (điểm $A$ khác điểm $B$, điểm $A$ khác điểm $C$). Vẽ đường cao $A H$ của tam giác $A B C$ ( $H \in B C$), trên $B C$ lấy điểm $D$ sao cho $B D=B A$. Kẻ đường thẳng $A D$, gọi điểm $E$ là hình chiếu của điểm $C$ trên đường thẳng $A D$.

1) Chứng minh tứ giác $A H E C$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh: $D A$. $H E=D H . A C$ và tam giác $E H C$ cân.

3) Gọi $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta A B H, \Delta A C H, \Delta A B C$. Tìm vị trí của điểm $A$ trên nửa đường tròn để $R_{1}+R_{2}+R_{3}$ đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

[IS]

a) Tự làm nhá 

b) +) CM \(\Delta ADC~\Delta HDE\left(g-g\right)\)

=> DA.HE=DH.AC

+) \(\Delta BAD\)cân\(=>\widehat{BAD}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{B}=\widehat{CAD}\)

mà \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\)

=> AD là tia phân giác góc HAC => Góc HAE = góc CAE => cung HE= cung CE => cạnh HE = cạnh CE => tam giác cân (dpcm)

Answer 2

[IS]

3) Xét \(\Delta MNP\)zuông tại M ngoại tiếp đươg tròn tâm I , bán kính r , tiếp xúc các cạnhMN  , MP,NP thứ tự tại D, E ,F

ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IDM}=\widehat{DME}=90\);ID =IE=r

=> tứ giác IEMD là hình zuông

=> MD=ME=r

Có ND=NF,PE =PF( các tia tiếp tuyến cắt nhau)

=> MN+MP-NP=MD+ND+ME+PE-NF-PF=MD+ME=2r

tam giác ABH zuông tại H có \(\hept{\begin{cases}R_1=\frac{AH+BH-AB}{2}\\\end{cases}}\)

Tam giác ACH zuông tại H có \(R_2=\frac{AH+CH-AC}{2}\)

tam giác ABC zuông tại A có \(R_3=\frac{AB+AC-BC}{2}\)

\(=>R_1+R_2+R_3=AH\)

ta có \(AH\le AO=\frac{6}{2}=3cm\)

dấu = xảy ra khi H trung O

=> A là điểm chính giữa cung BC 

Nguồn : https://qanda.ai/vi/solutions/npWTTopujG-Cho-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0ong-tr%C3%B2n-t%C3%A2m-O-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-k%C3%ADnh-BC6cm-Tr%C3%AAn-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng-tr%C3%B2n