K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 4 2023

https://www.youtube.com/watch?v=YfKa0fZxV9s&t=143s

24 tháng 9 2019

O C F A E B M P Q 1

+) Bước 1: Chứng minh \(\Delta\) FPO vuông tại P

Ta có: \(\widehat{O_1}=\widehat{FOP}=\widehat{FOE}=\widehat{FOM}+\widehat{MOE}=\frac{1}{2}\widehat{COM}+\frac{1}{2}\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

=> \(\widehat{FOP}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

mà \(\widehat{FCP}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( góc nội tiếp = 1/2 góc ở tâm khi chắn cùng một cung)

=> \(\widehat{FOP}=\widehat{FCP}\)

=> Tứ giác CFPO nội tiếp  => \(\widehat{FPO}+\widehat{FCO}=180^o\Rightarrow\widehat{FPO}=180^o-90^o=90^o\)

=>  \(\Delta\) FPO vuông tại P

+) Bước 2: Chứng minh  \(\Delta\) EQO vuông tại Q. ( Chứng minh tương tự)

+) Bước 3: Chứng minh tỉ số: \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)

Xét  \(\Delta\) FPO vuông tại P và  \(\Delta\) EQO vuông tại Q có: \(\widehat{O_1}\) chung 

=>  \(\Delta\) FPO  ~  \(\Delta\) EQO

=> \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)

Xét  \(\Delta\) OQP và  \(\Delta\) OEF  có: \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)( chứng minh trên ) và \(\widehat{O_1}\) chung

=>  \(\Delta\) OQP ~  \(\Delta\) OEF

=> \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)(1) 

+) Bước 4: Chứng minh Tỉ số \(\frac{PQ}{EF}\)không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Xét \(\Delta\)EQO vuông tại Q  => \(\cos\widehat{O_1}=\frac{OQ}{OE}\)

Mặt khác : \(\widehat{O_1}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( xem chứng minh ở Bước 1) 

=> \(\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}=\frac{OQ}{OE}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{PQ}{EF}=\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}\)không đổi  khi M di chuyển. ::))

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

DB,DM là các tiếp tuyến

Do đó: DB=DM

Xét (O) có

EM,EC là các tiếp tuyến

Do đó: EM=EC

Chu vi tam giác ADE là:

\(C_{ADE}=AD+DE+AE\)

\(=AD+DM+ME+AE\)

\(=AD+DB+CE+AE\)

\(=AB+AC=2\cdot AB\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OA, ta được:

\(AH\cdot AO=AB^2\)(1)

Xét (O) có

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\widehat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)(Hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

Xét ΔABE và ΔADB có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)(cmt)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE∼ΔADB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow AB^2=AD\cdot AE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)(đpcm)

11 tháng 5 2021

( 1 số phần cơ bản sẽ làm tắt nha, cái đấy bạn sẽ tự trình bày rõ nhá, nhất là chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ rút ngắn lại )

a)\(\widehat{ABO}=\widehat{AEO}=90^0\)

\(\Rightarrow ABEO\)nội tiếp

=> A,B,E,O thuộc 1 đường tròn

b) Xét tam giác AMC và tam giác ACN có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAC}chung\\\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMC~\Delta ACN\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AN}\)

\(\Rightarrow AC^2=AM.AN\)

c) \(\widehat{MJC}+\widehat{MFC}=180^0\)

\(\Rightarrow MJCF\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MCJ}\)

Mà \(\widehat{MCJ}=\widehat{MBC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MBC}\left(1\right)\)

CMTT \(\widehat{MFI}=\widehat{MCB}\left(2\right)\)

Xét tam giác MBC có: \(\widehat{CMB}+\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=180^0\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{MFJ}+\widehat{MFI}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{PFQ}=180^0\)

\(\Rightarrow MPFQ\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MFQ}\)mà \(\widehat{MFQ}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MBC}\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow PQ//BC\)

d)  Xét tam giác MIF và tam giác MFJ có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MIF}=\widehat{MFJ}\left(=\widehat{MBF}\right)\\\widehat{MJF}=\widehat{MFI}\left(=\widehat{MCF}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta MIF~\Delta MFJ\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{MF}=\frac{MF}{MJ}\)

\(\Rightarrow MI.MJ=MF^2\)

MI.MJ lớn nhất \(\Leftrightarrow MF^2\)lớn nhất

Mà \(MF=\frac{1}{2}MN\)

\(\Rightarrow MF^2=\frac{1}{4}MN^2\)

\(\Rightarrow MF\)lớn nhất <=> MN lớn nhất \(\Leftrightarrow MN\)là đường kính (O)

\(\Leftrightarrow M\)là điểm chính giữa cung BC

Vậy MI.MJ lớn nhất <=> M là điểm chính giữa cung BC.

( KO hiểu thì hỏi mình nha )

25 tháng 4 2023

tại sao MF=1/2MN ?

 

13 tháng 11 2023

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

Ta có: OB=OC

AB=AC

Do đó: OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC