Question

[Lê tâm như]

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

ĐKXĐ: n>=3

\(A^2_n-C^3_n=10\)

=>\(\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!\cdot3!}=10\)

=>\(n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

=>\(6n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=60\)

=>\(n\left(n-1\right)\left(6-n+2\right)=60\)

=>\(\left(n^2-n\right)\left(-n+8\right)=60\)

=>\(-n^3+8n^2+n^2-8n-60=0\)

=>\(n^3-9n^2+8n+60=0\)

=>(n-5)(n-6)(n+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}n=5\left(nhận\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nhị thức sẽ trở thành là \(\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5\)

SHTQ là \(C^k_5\cdot\left(x^2\right)^{5-k}\cdot\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)^k\)

\(=C^k_5\cdot x^{10-2k}\cdot\dfrac{\left(-2\right)^k}{x^{3k}}\)

\(=C^k_5\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^{10-5k}\)

Hệ số của số hạng chứa x⁵ tương ứng với 10-5k=5

=>k=1

=>Hệ số là \(C^1_5\cdot\left(-2\right)^1=5\cdot\left(-2\right)=-10\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A_n^2-C_n^3=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{3!.\left(n-3\right)!}=10\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

\(\Leftrightarrow-n^3+9n^2-8n-60=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-2\left(loại\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5=\left(x^2-2.x^{-3}\right)^5\)

SHTQ trong khai triển: 

\(C_5^k.\left(x^2\right)^k.\left(-2.x^{-3}\right)^{5-k}=C_5^k.\left(-2\right)^{5-k}.x^{5k-15}\)

Số hạng chứa \(x^5\) thỏa mãn: \(5k-15=5\)

\(\Rightarrow k=4\)

Hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^{5-4}=-10\)