K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
20 tháng 2 2019

4 câu 1,3,4,5 giống nhau, mình làm 1 câu và bạn dựa vào đó tự xử lý mấy câu còn lại nhé

1/ \(I=\int sin2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2x.dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\int cos2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}I_1\)

Xét \(I_1=\int cos2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=cos2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-2sin2xdx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}\int sin2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{13}{9}I=\dfrac{1}{9}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{13}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)+C\)

3/ \(\int e^x\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)dx=\dfrac{1}{2}\int e^xdx+\dfrac{1}{2}\int cos2x.e^xdx=\dfrac{e^x}{2}+\dfrac{1}{2}I_1\)

\(I_1\) có cách tính y hệt như bài 1, bạn nguyên hàm từng phần 2 lần là xong

4/ Cũng hạ bậc tương tự câu trên và xử lý

5/ \(I=\int e^{-x}\left(\dfrac{cos3x+3cosx}{4}\right)dx=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}\left(cos3x+3cosx\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}cos3x.dx+\dfrac{3}{4}\int e^{-x}cosx.dx=I_1+I_2\)

Dùng phương pháp tương tự bài 1, lần lượt tính \(I_1\)\(I_2\) rồi cộng vào

2/\(I=\int\dfrac{x^4}{\left(x^2-1\right)^2}dx=\int\left(1+\dfrac{2x^2-1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx=\int\left(1+\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)^2\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\right)\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{1}{4\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{4\left(x-1\right)}+C\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{x}{2\left(x^2-1\right)}+C\)

12 tháng 8 2019

thầy e cx cho câu giống câu 2 kia, e tắc luôn ạ, may mà anh lm r :))

20 tháng 1 2019

\(a,\int sin2x.cosxdx=\int\dfrac{1}{2}\left[sin3x+sinx\right]dx=\dfrac{1}{2}\int sin3xdx+\dfrac{1}{2}\int sinxdx=\dfrac{-1}{6}cos3x-\dfrac{1}{2}cosx\)

20 tháng 1 2019

phần a bạn thêm +C vào đáp án nhé
\(i,\int2sinx3x.cos2xdx=2\int\dfrac{1}{2}\left(sin5x+sinx\right)dx=\int sin5xdx+\int sinxdx=-\dfrac{1}{5}cos5x-cosx+C\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017

a)

Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)

b)

\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017

c)

\(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).

Đặt \(x+1=t\)

\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)

\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)

\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)

27 tháng 4 2017

Hỏi đáp Toán

GV
4 tháng 5 2017

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)

\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)

Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

Suy ra:

\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)

\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

GV
4 tháng 5 2017

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)

11 tháng 4 2017

Giải bài 4 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12