K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2018

Bài 1:

Ta thấy: \(y^2=5^x+12^x\equiv 5^x\equiv (-1)^x\pmod 3\)

Nếu $x$ lẻ suy ra \(y^2\equiv (-1)^x\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

Điều này vô lý do một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0,1$

Do đó $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)

\(\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow (y-12^k)(y+12^k)=5^{2k}\)

Khi đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} y-12^k=5^m\\ y+12^k=5^n\end{matrix}\right.(m+n=2k)\)

\(\Rightarrow 2.12^k=5^n-5^m\)

\(2.12^k\not\vdots 5\Rightarrow 5^n-5^m\not\vdots 5\). Do đó bắt buộc một trong hai số $m,n$ bằng $0$

Vì cả hai đều là số tự nhiên mà $m< n$ nên $m=0$

Do đó: \(2.12^k=5^n-1=5^{2k}-1=25^k-1(*)\)

Nếu \(k=0\) thì vô lý

Nếu \(k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=13\) (thỏa mãn)

Nếu \(k\geq 2\) : \(25^k-1=(24+1)^k-1>24^k=2^k.12^k>2.12^k\) (trái với $(*)$)

Vậy \((x,y)=(2,13)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 5 2018

Bài 2:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2+\sqrt{3}=a\\ 2-\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\ a+b=4\end{matrix}\right.\)

Ta sẽ chứng minh \(a^n+b^n\) luôn chẵn với mọi \(n\in\mathbb{N}\) bằng quy nạp

Thật vậy:

\(n=0\Rightarrow a^n+b^n=2\) chẵn

\(n=1\Rightarrow a^n+b^n=a+b=4\) chẵn

....

Giả sử điều ta nhận định đúng đến \(n=k\) .

Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

\(a^{k+1}+b^{k+1}=(a^k+b^k)(a+b)-a^kb-ab^k\)

\(=4(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})\)

\(=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\)

Vì nhận định đúng đến $n=k$ nên \(a^{k-1}+b^{k-1}\) chẵn

\(\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\) chẵn

Ta có đpcm

Thay \(n=2016\) thì từ kết quả vừa chứng minh suy ra \((2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}=a^{2016}+b^{2016}\) chẵn

17 tháng 5 2018

a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)

 Do đó , y là số lẻ 

Mà 12x , y2  \(\equiv1\left(mod8\right)\)

Suy ra 5x \(\equiv1\left(mod8\right)\)

=> x chẵn 

Đặt x = 2k (k > 0)

=> 52k = (y - 12k)(y + 12k

Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12k = 52k - m 

và y - 12k = 5m 

=> 2.12k = 5m(52k - 2m - 1)

Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5 

=> 52k + 122k = (12k + 1)2

Mà 2.12k  =  5m =>  m = 0 và y = 12k + 1

=> 2.12k = 25k - 1

Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình 

Vậy x = 2 , y = 13

17 tháng 5 2018

b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được 

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)

Vậy ...... 

10 tháng 8 2017

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

27 tháng 8 2016

Ta có (x + |x| + 2016)(y + |y| + 2016) > 2016 với mọi x, y nên không thể tính được P

20 tháng 9 2016

x+y =0

=> P = 1

14 tháng 10 2016

Bạn thêm điều kiện x,y,z lớn hơn 0 nhé :)

Từ giả thiết ta suy ra : \(a^2=b+4032\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4032\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=2016\)thay vào :

\(x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{x^2+xy+yz+zx}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left|y+z\right|=xy+xz\)vì x,y,z > 0

Tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{2016+y^2}}=xy+zy\)

\(z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{2016+z^2}}=zx+zy\)

Suy ra \(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2016=4032\)