K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 3 2021

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán!

Đề cần sửa thành $\leq \frac{4}{3}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}\leq \frac{1}{2xy+2xz}=\frac{1}{2}.\frac{1}{xy+xz}\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(\sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=\frac{x+y+z}{4xyz}\) $(1)$

Mặt khác:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow 4xyz=xy+yz+xz$

$\Rightarrow 16x^2y^2z^2=(xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow x+y+z\leq \frac{16}{3}xyz (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{4}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$

NV
7 tháng 3 2021

\(\dfrac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+x^2+z^2}\le\dfrac{1}{2xy+2xz}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{x^2+2y^2+z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Đề bài sai

21 tháng 3 2021

\(A=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{4}{4}=1\)

26 tháng 4 2017

bn xem lại điều kiện 

J
26 tháng 4 2017

cái này tôi nháp nhiều lần rồi, với lại đây là đề thi hsg mà, k sai đc đâu

1 tháng 6 2018

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

vì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>=\frac{9}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)(bđt svacxo)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)< =3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

2:

-8x^6-12x^4y-6x^2y^2-y^3

=-(8x^6+12x^4y+6x^2y^2+y^3)

=-(2x^2+y)^3

3:

=(1/3)^2-(2x-y)^2

=(1/3-2x+y)(1/3+2x-y)

Cảm ơn bạn nhiều! Bạn có thể làm bài 1 không