K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4...
Đọc tiếp

Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).

Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4 đỉnh của một hình vuông thì không cân bằng. Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập không tâm nếu không tồn tại 4 điểm A, B, C, D thuộc S sao cho DA = DB = DC. Nói cách khác, nếu 3 điểm A, B, C thuộc S thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC không thuộc S. 

Đề toán yêu cầu:

a) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3, tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm trên mặt phẳng.

b) Tìm tất cả các giá trị n ≥ 3 sao cho tồn tại tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, cân bằng và không tâm.

0
13 tháng 6 2020

Đề bài thiếu : không có 4 điểm nào cùng thuộc 1 đường tròn ( nhỡ n điểm này cùng thuộc 1 đường tròn)

Có n điểm mà ko có 3 điểm nào thẳng hàng luôn tồn tại 2 điểm sao cho n−2 điểm còn lại ∈ cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa đoạn thẳng có 2 mút là 2 điểm trên

gọi 2 điểm đó là A1,A2 và n−2 điểm còn lại là B1,B2,B3,...,Bn−2

Xét các góc A1BiA2ˆ(i=1,2,3,..,n−2)

luôn tồn tại một góc có số đo lớn hơn hẳn những góc còn lại giả sử là A1BmA2ˆ

khi đó vẽ đường tròn ngoại tiếp TG này

Dễ cm nếu ∃1 điểm nằm trong đường tròn đó gs là Bn thì A1BnA2ˆ>A1BmA2ˆ

=> vô lý vì góc trên là lớn nhất

P/s : Bài náy có thể mở rộng là có thể vẽ 1 đường tròn chứa đúng m điểm với (m≤n)

14 tháng 6 2020

Trong các khoảng cách từ O đến các cạnh của đa giác, giả sử khoảng cách từ O đến cạnh AB là nhỏ nhất (đó là đường vuông góc OE)

Ta sẽ chứng minh E phải thuộc cạnh AB

Giả sử E nằm ngoài cạnh AB, khi đó OE phải cắt một trong các cạnh của đa giác tại G

Dễ thấy OF<OG<OE nghĩa là điểm O gần cạnh BC hơn cạnh AB

Điều này trái với việc chọn cạnh AB, từ đó ta có điều phải chứng minh

A B E G O F C D

4 tháng 12 2017

Bài 5: 

Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)

Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :

\(x_2\ge x_1+1\)

\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)

\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)

\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)

\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)

\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)

Do x1 là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)

Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Bài 1: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1.Tìm tất cả bộ số nguyên (a;b;c;d) thỏa mãn :an=bn+cn+dn+2005Bài 2: Trong 1 hội nghị có 41 người nam và nữ.Trong số 31 người bất kì luôn tìm được 1 đôi nam nữ quen nhau.Chứng minh rằng trong số 41 người đó luôn tìm được 12 đôi nam nữ quen nhau.Bài 3: Cho 1 hình chữ nhất có S=1.Bên trong có 5 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và có thể...
Đọc tiếp

Bài 1: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1.Tìm tất cả bộ số nguyên (a;b;c;d) thỏa mãn :
an=bn+cn+dn+2005

Bài 2: Trong 1 hội nghị có 41 người nam và nữ.Trong số 31 người bất kì luôn tìm được 1 đôi nam nữ quen nhau.Chứng minh rằng trong số 41 người đó luôn tìm được 12 đôi nam nữ quen nhau.

Bài 3: Cho 1 hình chữ nhất có S=1.Bên trong có 5 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và có thể nằm trên biên hình chữ nhật. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 tam giác có S=14(các tam giác có đỉnh là 3 trong 5 điểm trên).

Bài 4: Cho Ai là những tập hợp hữu hạn phần tử

|N⋃i=1Ai|=∑1≤k≤N|Ak|−∑1≤i1<i2≤N|Ai1∩Ai2|+⋯+(−1)N−1|A1∩A2∩⋯∩AN|

Trong đó |X| là số các phần tử của tập hợp X.

Bài 5: Cho đa giác lồi 2n-đỉnh: a1,...,a2n, P là một điểm nằm trong đa giác nhưng không nằm trên đường chéo nào. CMR số tam giác có các đỉnh trong a1,...,a2n chứa điểm P là một số chẵn.

Bài 6: Cho 1 từ có n âm tiết (VD: từ "đi chơi” có 2 âm tiết). Hỏi có bao nhiêu cách nói lái từ này trong 2 trường hợp :
-Mọi cách nói lái đều có thể chấp nhận.
- Có 1 số từ chỉ có thể nhận dấu sắc và dấu năng ( VD:dep, sat, gac…..).

Bài 7: Cho n-giác . Một số đường chéo của n-giác thỏa mãn 3 tính chất sau:
1) Không có 2 đường chéo nào cắt nhau (trong đoạn)
2) n-giác bị chia thành các tam giác
3) Số đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh đều là số chẵn ( có thể là 0 )
CMR: 3|n.

Bài 8: Một tập hợp gồm 1985 phần tử là 1985 số tự nhiên đầu tiên được chia làm 6 tập hợp.CM trong 1 tập có chứa ít nhất 3 phần tử(không nhất thiết phân biệt) thỏa mãn số lớn nhất bằng tổng 2 số còn lại.

Bài 9: Cho n là số tự nhiên, (n>2)
Xét các từ gồm n chữ n chữ B
Từ x1x2...x2n gọi là thuộcS(n) nếu có đúng 1 đoạn khởi đầu chứa lượng chữ B giống nhau
Tính:limS(n)R(n)

Bài 10:
Trong một hình chữ nhật 1999x2000 .Ở ô (i,j) ghi số 3x2 hoặc 5x2 rồi đổi dấu tất cả các số ở tất cả các ô trong hình chữ nhật.Hỏi sau một số chẵn lần thực hiện tổng các số trong bảng có thể là 1998 đuợc không?

Bài 11: Có thể phủ được hay không một bảng hình chữ nhật kích thước 5x7 bằng những hình thuớc thợ ba ô sao cho mỗi ô đều được phủ bởi một số lượng như nhau những hình thước thợ ?

Bài 12: Tìm số nguyên dương x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an−1 với a1<a2<...<an−1 thỏa mãn x1x2...xn=1980 và xi+1980xi∀i=1,2,...,n−1

Bài 13: Chứng minh rằng không thể dùng 25 tấm domino cỡ 1x4 để phủ kín bảng vuông 10x10.

Bài 14: Đối với 1 đồ thị hữu hạn ta có thể xóa 1 cạnh tùy ý trong 1 vòng 4 cạnh tùy ý. Với đồ thị đầy đủ n đỉnh thì việc xóa cạnh có thể kết thúc sau ít nhất bao nhiêu lần?

Bài 15: Xác đinh tất cả các giá trị của m,n sao cho hinh chữ nhật m.n có thể lát khít kín bởi các hock:
**
*
***

Bài 16: Tìm hằng số C nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn G ta có
g3(G)≤c⋅f4(G)
trong đó g(G) và f(G) lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong G

Bài 17: Tại 1 trường ĐH có 10001 SV, các SV tham gia các CLB, 1 SV có thể tham gia nhiều CLB, các CLB nghiên cứu các môn KH, 1CLB có thể nghiên cứu nhiều môn KH.Có k môn KH. Biết rằng:
i) mỗi cặp SV tham gia cùng nhau đúng 1 CLB
ii) không có SV nào tham gia 2 CLB nghiên cứu cùng 1 môn KH
iii) mỗi CLB có lẻ SV tham gia
iv) CLB có 2m+1 SV thì nghiên cứu đúng m môn KH
Tính k.

Bài 18: Người ta điền số vào 441 ô vuông của bảng vuông 21*21 sao cho tại mỗi hàng và mỗt cột có không quá 6 giá trị khác nhau được điền vào. Chứng minh rằng có một số xuất hiện ở ít nhất 3 hàng và ít nhất 3 cột của bảng vuông này.

Bài 19:
Câu 1)
Cho 1 điểm M không thuộc đường thẳng d. CM không tồn tại tập điểm Ai vô hạn thuộc d thỏa mãn :
-Khoảng cách AiAj∈Z
-MAi∈Z
Câu 2)
Như trên thay d bởi mặt phẳng (P).

Bài 20: Cho đường gâp khúc khép kín n đoạn thẳng:
Tìm n để đường gâp khúc tự căt mỗi đoạn thẳng của mình tại k điểm (k cho trước)
Với mỗi k và n ,tìm số giao điểm.

Bài 21: Tìm k để tồn tại đường gâp khúc khép kín n cạnh , tự cắt nhau k lân` (với n cho trước)

Bài 22: Với m là số nguyên dương,cho s(m) là tổng các chữ số của m.Với f(n) là số k nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập S gồm n số nguyên dương thỏa mãn X của S.Chứng minh rằng tồn tại các hằng số dương 0<C1<C2 với C1lg(n)≤f(n)≤C2lg(n),∀n≥2.

Bài 23: Viết n số tự nhiên trên một đường tròn.Tìm n sao cho với mọi dãy gồm n số tự nhiên ta luôn tìm được hai số cạnh nhau sao cho sau khi xoá chúng đi các số còn lại có thể chia thành hai tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau.

Bài 24: Cho bảng vuông 2n⋅2n(n∈N,n≥2) . Ta điền 2n2 số tự nhiên từ 1→2n2 vào bảng, mỗi số lặp lại hai lần.
Chứng minh rằng tồn tại một cách chọn 2n2 số tự nhiên từ 1→2n2 ,mỗi số một lần sao cho trên mỗi hàng và mỗi cột luôn có ít nhất 1 số được chọn.

Bài 25: Giả sử rằng có 18 ngọn hải đăng trên vịnh BaTư ,mỗi ngọn trong chúng có thể chiếu sáng được một góc 200.Chứng minh rằng có thể chọn hướng chiếu sáng của chúng sao cho toàn mặt vịnh BaTư được chiếu sáng.

Bài 26: Giả sử có n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính r và tâm O trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển O đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của O là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.

Bài 27: Cho k là số nguyên dương và Sn={1,2,...,n},(n≥3). Hàm f:Skn→Sk thỏa mãn: nếu a,b∈Skn và chúng khác nhau ở tất cả các vị trí thì f(a)≠f(b). Chứng minh rằng có i∈{1,2,...,k} sao cho:
f(a1,a2,...,ak)=ai,∀a=(a1,a2,...,ak)∈Skn.

Bài 28: Cho (O) bán kính 1,và F là hình lồi đóng nằm trong C(Nghĩa là:Nếu P,Q là các điểm của F thì đoạn thẳng PQ nằm trong F;tất cả các điểm biên của F nằm trong F;tất cả các điểm của F nằm trong đường tròn C.).Hơn nữa giả sử rằng từ mỗi điểm của C có thể vẽ được hai tia tiếp tuyến của F mà góc giữa chúng bằng 600.Chứng minh rằng F là hình tròn bán kính 12.

Bài 29: Cho 100 điểm là đỉnh của đa giác đều 100 cạnh nội tiếp đường tròn. Lấy trong đó ra 20 điểm, 10 điểm tô màu đỏ, 10 điểm tô màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại 2 cặp điểm có độ dài bằng nhau, 1 cặp cùng màu đỏ, 1 cặp cùng màu xanh.

Bài 30: Cho n số d1,d2,...,dn.
Tìm điều kiện cần và đủ để các số này là bậc của 1 đồ thị
a)n đỉnh
b)có giả thuyết a và là Đồ thị liên thông.
c)có giả thuyết a và có đường đi khép kín đến các đỉnh.

9
12 tháng 3 2016

nhanh cho ****

12 tháng 3 2016

bai nhu the thi bo may tra loi duoc ak

1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó...
Đọc tiếp

1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.
2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.
3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N, mà tam giác ABC có cạnh AB = 33, AC = 21, BC = n và các điểm D, E lần lượt ở trên cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AD=DE=EC=m.
4. (Việt Nam, 79) Tìm tất cả bộ ba các số a, b, c N là các độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25.
5. (Nữu Ước, 78) Tam giác ABC và tam giác DEF cùng nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi và chỉ khi có: sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF.
6. (Nam Tư, 81) Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy.
7. (Áo, 83) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC, BC lấy lần lượt các điểm C’, B’, A’ sao cho các đoạn AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. Các điểm A”, B”, C” lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C qua A’, B’, C’. Chứng minh rằng: SA”B”C” = 3SABC + 4SA’B’C’
8. (Áo, 71) Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại O. Cmr: AB2 + BC2 + CA2 = 3(OA2 + OB2 + OC2)
9. (Nữu Ước, 79) Chứng minh rằng nếu trọng tâm của một tam giác trùng với trọng tâm của tam giác có các đỉnh là trung điểm các đường biên của nó, thì tam giác đó là tam giác đều.
10. (Anh, 83) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
11. (Tiệp Khắc, 72) Tìm tất cả các cặp số thực dương a, b để từ chúng tồn tại tam giác vuông CDE và các điểm A, B ở trên cạnh huyền DE thoả mãn điều kiện: và AC=a, BC=b.
12. (Nữu Ước, 76) Tìm một tam giác vuông có các cạnh là số nguyên, có thể chia mỗi góc thành ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa.
13. (Phần Lan, 80) Cho tam giác ABC. Dựng các đường trung trực của AB và AC. Hai đường trung trực trên cắt đường thẳng BC ở X và Y tương ứng. Chứng minh rằng đẳng thức: BC=XY
a) Đúng nếu tanB.tanC=3
b) Đẳng thức có thể đúng khi tanB.tanC 3: khi đó hãy tìm tập hợp M thuộc R để đẳng thức đã dẫn trên tương đương với điều kiện tanB.tanC M.
14. (Nữu Ước, 76) O là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn OB và OC người ta lấy hai điểm B1 và C1 sao cho . Chứng minh rằng AB1=AC1.
15. (Anh, 81) O là trực tâm của tam giác ABC, A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn tâm O cắt đường thẳng B1C1 ở D1 và D2, cắt đường thẳng C1A1 ở E1 và E2, cắt đường thẳng A1B1 ở F1 và F¬2. Cmr: AD1=AD2=BE1=BE2=CF1=CF2.
16. (Nam Tư, 83) Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho: và . Chứng minh rằng nếu D là trung điểm cạnh AB thì DM=DL.
17.Tìm quĩ tích các điểm M trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện: MAB + MBC+ MCA=90
18.Kí hiệu Bij (i, j {1;2;3}) là điểm đối xứng của đỉnh Ai của tam giác thường A1A2A3 qua phân giác xuất phát từ đỉnh A1. Chứng minh rằng các đường thẳng B12B21, B13B31, B23B32 song song với nhau.
19. Đường phân giác trong và ngoài góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng nếu CL=CM thì: AC2+BC2=4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

0
1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó...
Đọc tiếp

1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.
2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.
3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N, mà tam giác ABC có cạnh AB = 33, AC = 21, BC = n và các điểm D, E lần lượt ở trên cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AD=DE=EC=m.
4. (Việt Nam, 79) Tìm tất cả bộ ba các số a, b, c N là các độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25.
5. (Nữu Ước, 78) Tam giác ABC và tam giác DEF cùng nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi và chỉ khi có: sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF.
6. (Nam Tư, 81) Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy.
7. (Áo, 83) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC, BC lấy lần lượt các điểm C’, B’, A’ sao cho các đoạn AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. Các điểm A”, B”, C” lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C qua A’, B’, C’. Chứng minh rằng: SA”B”C” = 3SABC + 4SA’B’C’
8. (Áo, 71) Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại O. Cmr: AB2 + BC2 + CA2 = 3(OA2 + OB2 + OC2)
9. (Nữu Ước, 79) Chứng minh rằng nếu trọng tâm của một tam giác trùng với trọng tâm của tam giác có các đỉnh là trung điểm các đường biên của nó, thì tam giác đó là tam giác đều.
10. (Anh, 83) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
11. (Tiệp Khắc, 72) Tìm tất cả các cặp số thực dương a, b để từ chúng tồn tại tam giác vuông CDE và các điểm A, B ở trên cạnh huyền DE thoả mãn điều kiện: và AC=a, BC=b.
12. (Nữu Ước, 76) Tìm một tam giác vuông có các cạnh là số nguyên, có thể chia mỗi góc thành ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa.
13. (Phần Lan, 80) Cho tam giác ABC. Dựng các đường trung trực của AB và AC. Hai đường trung trực trên cắt đường thẳng BC ở X và Y tương ứng. Chứng minh rằng đẳng thức: BC=XY
a) Đúng nếu tanB.tanC=3
b) Đẳng thức có thể đúng khi tanB.tanC 3: khi đó hãy tìm tập hợp M thuộc R để đẳng thức đã dẫn trên tương đương với điều kiện tanB.tanC M.
14. (Nữu Ước, 76) O là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn OB và OC người ta lấy hai điểm B1 và C1 sao cho . Chứng minh rằng AB1=AC1.
15. (Anh, 81) O là trực tâm của tam giác ABC, A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn tâm O cắt đường thẳng B1C1 ở D1 và D2, cắt đường thẳng C1A1 ở E1 và E2, cắt đường thẳng A1B1 ở F1 và F¬2. Cmr: AD1=AD2=BE1=BE2=CF1=CF2.
16. (Nam Tư, 83) Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho: và . Chứng minh rằng nếu D là trung điểm cạnh AB thì DM=DL.
17.Tìm quĩ tích các điểm M trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện: MAB + MBC+ MCA=90
18.Kí hiệu Bij (i, j {1;2;3}) là điểm đối xứng của đỉnh Ai của tam giác thường A1A2A3 qua phân giác xuất phát từ đỉnh A1. Chứng minh rằng các đường thẳng B12B21, B13B31, B23B32 song song với nhau.
19. Đường phân giác trong và ngoài góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng nếu CL=CM thì: AC2+BC2=4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

2
3 tháng 8 2016

Bài quá dài

 

3 tháng 8 2016

19 câu