Question

[Nguyen Tung Lam]

a)Chứng minh: \(C=\)\(\left(2009+2009^2+2009^3+.....+2009^{20}\right)⋮2010\)

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 6, cho 7 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5

Answer 1

[Ngo Tung Lam]

a) Tổng C có số số hạng là :

( 20 - 1 ) : 1 + 1 = 20 ( số )

Ta thấy \(20⋮2\)nên khi ta nhóm 2 số lại thì sẽ không có số nào bị thừa cả 

Ta có :

 \(C=2009+2009^2+2009^3+......+2009^{20}\)

\(C=\left(2009+2009^2\right)+\left(2009^3+2009^4\right)+.....+\left(2009^{19}+2009^{20}\right)\)

\(C=1.\left(1+2009\right)+2009^3.\left(1+2009\right)+......+2009^{19}.\left(1+2009\right)\)

\(C=1.2010+2009^3.2010+.....+2009^{19}.2010\)

\(C=2010.\left(1+2009^3+....+2009^{19}\right)\)

Vậy \(C⋮2010\left(ĐPCM\right)\)

b) Gọi số cần tìm là : a \(\left(a\ne0;a\inℤ\right)\)

Vì a chia cho 5 dư 3 nên \(a-3⋮5\)suy ra \(a-3+5⋮5\Rightarrow a+2⋮5\)

Vì a chia cho 6 dư 4 nên \(a-4⋮6\)suy ra \(a-4+6⋮6\Rightarrow a+2⋮6\)

Vì a chia cho 7 dư 5 nên \(a-5⋮7\)suy ra \(a-5+7⋮7\Rightarrow a+2⋮7\)

Vì \(\hept{\begin{cases}a+2⋮5\\a+2⋮6\\a+2⋮7\end{cases}\Rightarrow a+2\in BC\left(5;6;7\right)}\)

Vì a phải là nhỏ nhất nên \(a+2\in BCNN\left(5;6;7\right)\)

Vì \(\left(5;6;7\right)=1\)nên \(BCNN\left(5;6;7\right)=5.6.7=210\)

\(\Rightarrow a+2=210\)

\(\Rightarrow a=210-2\)

\(\Rightarrow a=208\)

Vậy \(a=208\)

Answer 2

[Luyện Văn Thịnh]

a=208