Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si và Cauchy-Schwarz cho các số dương ta có:
$A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+y}=2(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y})$
$\geq 2.\frac{4}{2x+x+y}=\frac{8}{3x+y}\geq \frac{8}{4}=2$
Vậy $A_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y; 3x+y=4\Leftrightarrow x=y=1$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (x+y)[(29x+3y)+(29y+3x)]=32(x+y)^2\leq 32.(x^2+y^2)(1+1)=64(x^2+y^2)\leq 64.2=128$
$\Rightarrow P\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=8\sqrt{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
1 32 32 x 29 x + 3 y ≤ 1 4 2 32 x + 29 x + 3 y 2 = 1 8 2 61 x + 3 y
Tương tự
1 32 32 y 29 y + 3 x ≤ 1 8 2 61 y + 3 x
=> P ≤ 4 2 x + y ≤ 4 2 x 2 + 1 2 + y 2 + 1 2 = 8 2
Vậy P min = 8 2 <=> x = y = 1
Ta có : \(\frac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz=1\)
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le B\le\sqrt{2}\)
Vậy \(MinB=-\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(MaxB=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)
Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh
Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)
Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)
\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)
Tương tự:
Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)
Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)
Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)
Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=a>0\)ta có;
\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)
\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)
\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)
bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn
Ta có: \(3x+y-1=0\)
\(\Rightarrow3x+y=1\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có:
\(\left(3x^2+y^2\right)\left(3+1\right)=\left[\left(\sqrt{3}x\right)^2+y^2\right]\left[\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2\right]\ge\left(\sqrt{3}x.\sqrt{3}+y.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4B\ge1^2\)
\(\Leftrightarrow B\ge\frac{1}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{1}\Rightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy........