Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
Ta có \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a+b}}.\sqrt{\frac{bc}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi rút gọn ta được \(VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1/3
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}}{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{x+a}{x+a}+\frac{b+y}{b+y}+\frac{c+z}{c+z}}{3}=1\)
Xảy ra khi a=b=c và x=y=z
Áp dụng BĐT AM-Gm:
\(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
Cộng 2 BĐT trên theo vế:
\(3\ge3.\frac{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có đẳng thức quen thuộc: \(\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=1\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)}{z}+\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(z+x\right)}{y}+2=\frac{\left(x+y\right)}{z}.\frac{\left(y+z\right)}{x}.\frac{\left(z+x\right)}{y}\)
Đặt \(\frac{x+y}{z}=a;\frac{y+z}{x}=b;\frac{z+x}{y}=c\) thì ta thu được giả thiết.
Vậy tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho \(a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)
P/s: Em không chắc về cách trình bày ở chỗ phần đặt..., nhưng cách đặt trên luôn tồn tại đó!
Cách khác tự nhiên hơn!
\(a+b+c+2=abc\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)=\left(z;x;y\right)\text{ thì }x+y+z=1\Rightarrow a=\frac{1-z}{z}=\frac{x+y}{z}\)
Tương tự: \(b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\). Rồi giải như bài ban nãy.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
am-gm :a3/V(b2+3)+a3/V(b2+3)+(b2+3)/x tự tìm số x dựa theo Min của bài (dự đoán a=b=c=1/3)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\((a+b)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(a+b)}\)
\((b+c)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(b+c)}\)
\((c+a)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(c+a)}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow 2(a+b+c)+4\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{18}\geq \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Lời giải hay, cảm ơn bạn nhiều nhé