K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
17 tháng 9 2021

23.

Ta sẽ tìm điểm \(I\left(a;b;c\right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(-2-a;2-b;6-c\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-3-a;1-b;8-c\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-1-a;-b;7-c\right)\\\overrightarrow{ID}=\left(1-a;2-b;3-c\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\left(-5-4a;5-4b;24-4c\right)\)

(1) thỏa mãn khi: \(\left\{{}\begin{matrix}-5-4a=0\\5-4b=0\\24-4c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\\c=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4};6\right)\)

Khi đó:

\(T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)^2\)

\(=4MI^2+IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)\)

\(=4MI^2+IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\) (do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\))

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\) cố định nên \(T_{min}\) khi \(MI_{min}\)

\(\Leftrightarrow M\) trùng I

\(\Rightarrow M\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4};6\right)\Rightarrow x+y+z=-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}+6=6\)

NV
17 tháng 9 2021

24.

\(a+b=4\Rightarrow b=4-a\)

ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow C\left(a;a;0\right)\)

Tương tự ta có: \(C'\left(a;a;b\right)\)

M là trung điểm CC' \(\Rightarrow M\left(a;a;\dfrac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{A'B}=\left(a;0;-b\right)=\left(a;0;a-4\right)\\\overrightarrow{A'D}=\left(0;a;-b\right)=\left(0;a;a-4\right)\\\overrightarrow{A'M}=\left(a;a;-\dfrac{b}{2}\right)=\left(a;a;\dfrac{a-4}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Theo công thức tích có hướng:

\(\left[\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'D}\right]=\left(-a^2+4a;-a^2+4a;a^2\right)\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'D}\right].\overrightarrow{A'M}\right|=\dfrac{1}{6}\left|a\left(-a^2+4a\right)+a\left(-a^2+4a\right)+\dfrac{a^2\left(a-4\right)}{2}\right|\)

\(=\dfrac{1}{4}\left|a^3-4a^2\right|=\dfrac{1}{4}\left(4a^2-a^3\right)\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=\dfrac{1}{4}\left(4a^2-a^3\right)\) trên \(\left(0;4\right)\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{1}{4}\left(8a-3a^2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)_{max}=f\left(\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{64}{27}\)

16 tháng 1 2022

a) \(I_4=\int\dfrac{3x+5}{2x^2+x+10}dx\)

\(=\int\dfrac{\dfrac{3}{4}\left(4x+1\right)+\dfrac{17}{4}}{2x^2+x+10}dx=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{\left(4x+1\right)dx}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{4}\int\dfrac{dx}{2x^2+x+10}\)

\(=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{d\left(2x^2+x+10\right)}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{x^2+\dfrac{x}{2}+5}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{d\left(x+\dfrac{1}{4}\right)}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{79}}{4}\right)^2}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}.\dfrac{4}{\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{2\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)

16 tháng 1 2022

b) \(I_5=\int\dfrac{4x-1}{6x^2+9x+4}dx\)

\(=\int\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(12x+9\right)-4}{6x^2+9x+4}dx\)

\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{\left(12x+9\right)dx}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{6x^2+9x+4}\)

\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{d\left(6x^2+9x+4\right)}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{\left(3x+1\right)^2+3}\)

\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}\int\dfrac{d\left(3x+1\right)}{\left(3x+1\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\dfrac{3x+1}{\sqrt{3}}\right)+C\)

 

30 tháng 1 2016

bạn chỉ cần tách x4-1  ​thành (x2-1)(x2+1),rồi đặt x2=t là ok

30 tháng 1 2016

\(\frac{1}{12}\)

4 tháng 2 2016

đặt x =tant 

là xong trong 1 nốt nhạc

4 tháng 2 2016

 

Tách sin^2 = 1-cos^2=(1-cos)(1+cos)

 

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, đưa về thế này

1/cos +1/2(1-cos) -1/2(1+cos)

 

16 tháng 1 2022

a) \(I_1=\int\dfrac{dx}{x^2+2x+3}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(x+1\right)^2+2}=\int\dfrac{d\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}arctan\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C\)

b) \(I_2=\int\dfrac{dx}{4x^2+4x+2}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(2x+1\right)^2+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^2+1^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}arctan\left(2x+1\right)+C\)

NV
1 tháng 11 2021

\(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x-3\right)-\left(-x^2+2x+c\right)}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-x^2+6x-6-c}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Rightarrow\) Cực đại và cực tiểu của hàm là nghiệm của: \(-x^2+6x-6-c=0\) (1)

\(\Delta'=9-\left(6+c\right)>0\Rightarrow c< 3\)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_1^2+6x_1-6=c\\-x_2^2+6x_2-6=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m-M=\dfrac{-x_1^2+2x_1+c}{x_1-3}-\dfrac{-x_2^2+2x_2+c}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x_1^2+8x_1-6}{x_1-3}-\dfrac{-2x_2^2+8x_2-6}{x_2-3}=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-x_1\right)-2\left(1-x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x_2-x_1=2\)

Kết hợp với Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2-x_1=2\\x_1+x_2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c=2\)

Có 1 giá trị nguyên

28 tháng 1 2023

\(I=\int\dfrac{2}{2+5sinxcosx}dx=\int\dfrac{2sec^2x}{2sec^2x+5tanx}dx\\ =\int\dfrac{2sec^2x}{2tan^2x+5tanx+2}dx\)

 

We substitute :

\(u=tanx,du=sec^2xdx\\ I=\int\dfrac{2}{2u^2+5u+2}du\\ =\int\dfrac{2}{2\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}}du\\ =\int\dfrac{1}{\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}}du\\ \)

Then, 

\(t=u+\dfrac{5}{4}\\I=\int\dfrac{1}{t^2-\dfrac{9}{16}}dt\\ =\int\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t-\dfrac{3}{4}}-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t+\dfrac{3}{4}}dt\)

 

Finally,

\(I=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{t-\dfrac{3}{4}}{t+\dfrac{3}{4}}\right|\right)+C=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{tanx+\dfrac{1}{2}}{tanx+2}\right|\right)+C\)