Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương Khánh Thực ra là ban đầu mình tính dùng Bunyakovski thẳng luôn nhưng thấy bậc khá cao mà không biết BĐT đó đúng hay sai nên mình đảo a, b, c xuống mẫu để dùng BĐT Bunyakovski thì bậc sẽ thấp hơn.
Và không ngờ sự vô tình đó giúp mình gặp may mắn: Đại lượng abc ở \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\) có thể giản ước cho đại lượng abc ở VP. Bậc của BĐT được hạ thấp và mình cứ thế mà chém:))
Áp dụng BĐT Bunyakovski\(,\) ta có: \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\ge9abc\)
Bất đẳng thức cuối tương đương: \(\left(a+b+c\right)^3\ge9\left(ab+bc+ca\right)\) \((\ast)\)
Có: \(3=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\therefore\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2-3}{2}\)
\((\ast)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\frac{9}{2}\)\(\Big[(a+b+c)^2-3\Big] \)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+3\right)\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Done.
Ta có : \(ac+bd\ge bc+ad\)
\(\Leftrightarrow ac+bd-bc-ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ac-bc\right)-\left(ad-bd\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)-d\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)\ge0\)( luôn đúng ) ( do a,b,c,d dương và \(a\ge b\), \(c\ge d\))
Vậy ....
a,\(a^2\ge0;b^2\ge0=>a^2+b^2\ge0\)
b, \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge a< =>a^2+b^2\ge2a?\) ( đề sai )
c, \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) ( hiển nhiên đúng )
\(=>đpcm\)
d, Câu này cho thêm đk a,b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương a , b
\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương 1/a , 1/b có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\left(2\right)\)
Nhân theo vế của (1) ,(2) có : \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\)
\(=>đpcm\) .
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)
=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]
vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc
Khởi động nhẹ nhàng thôi:v
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-a-b-c\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) (đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
a) C1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab ( 1)
b2 + c2 ≥ 2bc ( 2)
c2 + a2 ≥ 2ac ( 3)
Từ ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ 2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + ab + ac)
⇔ 3( a2 + b2 + c2) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)
C2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
( a2 + b2 + c2)( 12 + 12 + 12) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)
\(a\ge b\Leftrightarrow a^2\ge b^2\Leftrightarrow a^2-b^2\ge0\)
\(c\ge d\Leftrightarrow c^2\ge d^2\Leftrightarrow c^2-d^2\ge0\)
\(-ab+ac\le0\)
\(-ad-cd\le0\)
\(-bc+bd\le0\)
\(\Rightarrow2\left(-ab+ac-ad-cd-bc+bd\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
Bằng nhau khi và chỉ khi a = b = c = d
Dấu lớn xảy ra khi a> b >c > d
***Mình chẳng hiểu bài làm của mình đâu. Mong bạn thông cảm. Bạn mà hiểu được thì qủa là thiên tài
***********