K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 4 2021

\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).

Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+c^2\ge2ac\).

\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).

\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

Chứng minh tương tự, ta dược:

\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).

Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).

Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

24 tháng 5 2016

Do a,b,c,d,e>0 mà a+b+c+d+e=1 => a,b,c,d,e<1

Ta có:tổng không đổi,tích lớn nhất khi 2 số bằng nhau

=> ab lớn nhất <=> a=b

     bc lớn nhất <=> b=c

     cd lớn nhất <=> c=d

     de lớn nhất <=> d=e

=> ab+bc+cd+de đạt GTLN <=> a=b=c=d=e

=> a=b=c=d=e=1/5=0,2

=> ab+bc+cd+de=0,16

Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .Bài 4 : Cho các...
Đọc tiếp

Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :

\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .

Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :

\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .

Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)

Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

 

6
3 tháng 11 2019

neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho

4 tháng 11 2019

đăng từng này thì ai làm cho 

1 tháng 11 2017

4/3 nha bạn.

3 tháng 5 2018

Do\(1\le a\le b\le c\le d\le4\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b}.\frac{b}{4}}=1\) (AM-GM)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1;b=c=\frac{1}{2};d=4\)