Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 97 số đã cho không có hai số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1< a_2< a_3< ....< a_{97}\)
Vì \(a_1;a_2;a_3;....;a_{97}\) đều là số tự nhiên nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{97}\ge97\)
Suy ra
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_{97}}\)\(< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{97}\)
\(=1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)+...+\left(\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{65}+...+\dfrac{1}{97}\right)\)
\(=1+\dfrac{1}{2}\cdot2+\dfrac{1}{2^3}\cdot2^3+...+\dfrac{1}{2^6}\cdot2^6=7< \dfrac{32}{2}=16\)
Mâu thuẫn với giả thiết. Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 97 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nha, ta có :
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=.....=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_1+a_2+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_1+a_2+....+a_n}{a_2+a_3+....+a_{n+1}}\)
\(\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_1+a_2+.....+a_n}{a_2+a_3+.....+a_{n+1}}\)
.................................
\(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_1+a_2+.....+a_n}{a_2+a_3+.....+a_{n+1}}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a_1+a_2+.....+a_n}{a_2+a_3+.....+a_{n+1}}\right)^n=\dfrac{a_1}{a_2}.\dfrac{a_2}{a_3}........\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\)
Vậy \(\left(\dfrac{a_1+a_2+......+a_n}{a_2+a_3+......+a_{n+1}}\right)=\dfrac{a_1}{a_{n+1}}\) (đpcm)
~ Học tốt ~
