Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{8}\ge\dfrac{3a^2}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{8}\ge\dfrac{3b^2}{2};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{8}\ge\dfrac{3c^2}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{8}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}-\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{8}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
@DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
\(a;b;c\ge0\)thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). CMR \(\dfrac{1}{2a+2bc+1}+\dfrac{1}{2b+2ca+1}+\dfrac{1}{2c+2ab+1}\ge1\)
Đảm bảo an ninh :))
\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a+b+c-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}-\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}-\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\ge a+b+c-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
3.
\(\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cosi
+ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}\)
......
tương tự với 2 cái sau
\(VT=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta chứng minh bđt phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\forall x,y,z>0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cô-si vào các số a,b,c dương :
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}\cdot ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\) (do áp dụng (1)) \(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
ơ kìa đang lm ra tab khác thấy lm xong r :(
ILoveMath làm tab khác lmj :v