Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bunhia:
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3.\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)}=\sqrt{21}< \sqrt{25}=5\)
Vậy \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\)
ta có:\(a,b,c\ge0;a+b+c=4\)
\(\Rightarrow a+b\le4\)\(mà\)\(a,b\ge0\)\(\Rightarrow0\le a+b\le4\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}\le2\)
\(\Rightarrow2-\sqrt{a+b}\ge0\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và(2)\(\Rightarrow\sqrt{a+b}\left(2-\sqrt{a+b}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2\sqrt{a+b}\ge a+b\)
CMTT:\(2\sqrt{b+c}\ge b+c;2\sqrt{c+a}\ge c+a\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Mà a+b+c=4\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge4\)
Dấu "="xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;0;0\right);\left(0;4;0\right);\left(0;0;4\right)\)
dùng bđt cauchy chứng minh biểu thức trên >=2 rồi chứng minh dấu = không xảy ra
Cho \(a,b,c\in Q\) thỏa mãn \(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\) \(\left(i\right)\)
Chứng minh rằng: \(a=b=c=0\)
\(-------\)
Chứng minh bổ đề: \(\sqrt[3]{2}\) là một số vô tỉ.
Đối với loại bài toán trên, ta cần dùng phương pháp phản chứng để tìm đáp án.
Thật vậy, giả sử \(R=\sqrt[3]{2}\) là một số hữu tỉ.
Tức là phải tồn tại các số nguyên \(m,n\) sao cho \(R=\frac{m}{n}\) nên \(R\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình:
\(\left(\frac{m}{n}\right)^3=2;\)
Suy ra \(m\inƯ\left(2\right),\) \(n\inƯ\left(1\right)\)
Tuy nhiên, lại không tồn tại \(m\) nào là ước của \(2\) mà lũy thừa \(3\) (lập phương) bằng \(2\)
Do đó, suy ra điều giả sử sai!
Vậy, \(R\) là một số vô tỉ.
\(-------\)
Ta có:
\(\left(i\right)\) \(\Rightarrow\) \(c\sqrt[3]{2^2}+b\sqrt[3]{2}+a=0\) \(\left(ii\right)\)
Đặt \(a=z;\) \(b=y;\)và \(c=x\) \(\Rightarrow\) \(x,y,z\in Q\)
Ta biểu diễn lại phương trình \(\left(ii\right)\) dưới dạng ba biến số \(x,y,z\) như sau:
\(x\sqrt[3]{2^2}+y\sqrt[3]{2}+z=0\) \(\left(\alpha\right)\)
Giả sử phương trình \(\left(\alpha\right)\) tồn tại với ba ẩn \(x,y,z\) được xác định, ta có:
\(y\sqrt[3]{2^2}+z\sqrt[3]{2}+2x=0\) \(\left(\beta\right)\)
Từ \(\left(\alpha\right);\left(\beta\right)\) suy ra được \(\left(y^2-xz\right)\sqrt[3]{2}=\left(2x^2-yz\right)\)
Nếu \(2x^2-yz\ne0\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{2}=\frac{2x^2-yz}{y^2-xz}\) là một số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
\(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}y^2-xz=0\\2x^2-yz=0\end{cases}}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}y^3=xyz\\yz=2x^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\) \(y^3=2x^3\) hay nói cách khác, \(y=x\sqrt[3]{2}\)
Nếu \(y\ne0\) thì \(\sqrt[3]{2}=\frac{y}{x}\in Q\) (mâu thuẫn với giả thiết theo bổ đề trên)
\(\Rightarrow\) \(x=0;y=0\)
Từ đó, ta dễ dàng chứng minh được \(z=0\)
Do đó, \(a=0;b=0;c=0\) (theo cách đặt trên)
Ngược lại, nếu \(a=b=c=0\) thì vẫn thỏa mãn \(\left(i\right)\) luôn đúng!
Vậy, tóm lại tất cả các điều đã nêu trên, kết luận \(a=b=c=0\)
