Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\left(b-c\right)^2=\left(c-a\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a=b=c\)
Lại có: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow M=1^{2016}+1^{2015}+1^{2020}=1+1+1=3\)
Ta có :
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Do \(a+b=a^3+b^3\)
\(\Rightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=1\)
Mà \(a^2=b^2=a+b\) ,ta có :
\(a+b-ab=1\)
\(\Rightarrow a+b-ab-1=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)-\left(ab-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\1-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
Thay vaò biểu thức ,có :
\(1^{2015}+1^{2015}=1+1=2\)
\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le1\\b^2\le1\\c^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\\c^3\le c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
\(\Rightarrow S=0+0+1=1\)
Giả sử a1, a2, ..., a2017 là 2017 số khác nhau.
Và0 < a1 < a2 ... < a2017
Vì là số nguyên dương nên ta có
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2017}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+\frac{2016}{2}=1009\)
Từ đây ta thấy rằng nếu như 2017 số đó là khác nhau thì tổng luôn < 1009 vậy nên để tổng đó bằng 1009 thì phải có ít nhất 2 trong 2017 số đó bằng nhau
có bạn nào làm được bài này theo nguyên lí Đi - rich - lê ko
Giả sử không có 2 số nào bằng nhau. Coi \(a_1>a_2>a_3>...>a_{2016}>a_{2017}\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2017}\in Z_+\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1009\)( Vô lý)
Do đó có ít nhất 2 số bằng nhau.
