Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(A=\dfrac{2x^2-16x+41}{x^2-8x+22}=\dfrac{2\left(x^2-8x+22\right)-3}{x^2-8x+22}\)
\(A-2=-\dfrac{3}{x^2-8x+22}=-\dfrac{3}{\left(x-4\right)^2+6}\ge-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}\) khi x =4
ab=1
⇒ \(a=\dfrac{1}{b}\)
⇒ \(a^2=\dfrac{1}{b^2}\)
Thay vào P:
\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{b^2}+b^2}\)
\(=\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)+\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)
Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
⇒ \(P\) ≥ \(2\sqrt{\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
Min P= \(2\sqrt{2}\) ⇔ \(b^2=\dfrac{1}{b^2}\) ⇔b=1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq 1$
Cộng theo vế:
$A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3$
$\Rightarrow A\geq 3-\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
Dự đoán điểm rơi \(x=y=z=1\)
Khi đó \(\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) và \(1+x=1+1=2\)
Ta cần ghép Cô-si \(\dfrac{1}{1+x}\) với \(k\left(1+x\right)\) sao cho đảm bảo đấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Đồng thời khi Cô-si 2 số dương trên thì dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{1+x}=k\left(1+x\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=k.2\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}\)
Như vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{1}{1+x}\) và \(\dfrac{1+x}{4}\), ta có \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1+x}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{1+x}.\dfrac{1+x}{4}}=1\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1+y}{4}\ge1\) và \(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1+z}{4}\ge1\)
Cộng vế theo vế của các BĐT vừa tìm được, ta có \(A+\dfrac{x+y+z+3}{4}\ge3\)\(\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\)
Lại có \(x+y+z\le3\) nên \(A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Lời giải:
\(P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}\)
\(=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}\) với $x=ab+bc+ac$
Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$
Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$
$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$
Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$
Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab=4\Rightarrow a+b\ge2\)
\(P=\dfrac{a^4}{a+ab}+\dfrac{b^4}{b+ab}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b+2ab}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)
\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2.2ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)
\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+3ab}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+1+2}{a+b+2}\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2.1}+2}{a+b+2}=\dfrac{a+b+2}{a+b+2}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=(a+1)+\frac{2}{a+1}+2\geq 2\sqrt{(a+1).\frac{2}{a+1}}+2=2\sqrt{2}+2$
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $(a+1)^2=2; a>0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}-1$
------------------------
Bổ sung ĐK: $a>1$
$X=\frac{a^2-1+2}{a-1}=a+1+\frac{2}{a-1}$
$=(a-1)+\frac{2}{a-1}+2$
$\geq 2\sqrt{2}+2$ (AM-GM)
Vậy $X_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị đạt tại $(a-1)^2=\sqrt{2}; a>1\Leftrightarrow a=\sqrt{2}+1$
Cô ơi giúp em câu em vừa gửi ạ