Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lê Thị Thục HiềnTrần Thanh PhươngVũ Minh Tuấn?Amanda?
giup voi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sau khi phân tích thành nhân tử ta có:
2a-3b+2b-2c+2c-3a
= -a-b<0
=> đẳng thức ko có nghĩa
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng giả thiết và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(\sqrt{8a^2+48}=\sqrt{8\left(a^2+6\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le\left(2a+2b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)\(\sqrt{8b^2+48}=\sqrt{8\left(b^2+6\right)}=\sqrt{8\left(b^2+ab+2bc+2ca\right)}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(b+2c\right)}\le\left(2a+2b\right)+\left(b+2c\right)=2a+3b+2c\)\(\sqrt{4c^2+6}=\sqrt{4c^2+ab+2bc+2ca}=\sqrt{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{\left(2c+a\right)+\left(2c+b\right)}{2}=\frac{4c+a+b}{2}\)Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{8a^2+48}+\sqrt{8b^2+48}+\sqrt{4c^2+6}\le\frac{11}{2}a+\frac{11}{2}b+6c\)
\(\Rightarrow\frac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+48}+\sqrt{8b^2+48}+\sqrt{4c^2+6}}\ge\frac{11a+11b+12c}{\frac{11}{2}a+\frac{11}{2}b+6c}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}ab+2bc+2ca=6\\a+2b=2c;b+2a=2c;a=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\sqrt{\frac{6}{7}}\\c=\frac{3\sqrt{42}}{14}\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đăt \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\) \(\left(\alpha\right)\)
Mình xin đề xuất một biện pháp khá ngắn gọn. Hy vọng bạn sẽ tìm cách khác.
Ta có:
\(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, ta cũng có:
\(a^2-2ca+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)
nên \(\sqrt{a^2-2ca+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\) \(\left(2\right)\)
Khi đó, ta cũng có thể thiết lập được bất đẳng thức tương tự như trên:
\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) ta được:
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}\)
Hay nói cách khác, \(VT\left(\alpha\right)\ge4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8x=VP\left(\alpha\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=2c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}\)= \(\sqrt{8\left(a^2+7\right)}\)= \(\sqrt{8\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)=2. \(\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\)
\(\le\) 2(a+b)+(a+2c) = 3a+2b+2c
tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\)\(\le\) 2a+3b+2c
\(\sqrt{4c^2+7}\) =\(\sqrt{4c^2+ab+2ac+2bc}\)= \(\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\)\(\le\)(a+b+4c)/2
mẫu số \(\le\)3a+2b+2c+2a+3b+2c+a/2+b/2+2c=(11a+11b+12c)/2
\(\Rightarrow\) Q\(\ge\) 2
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab+2bc+2ca=7\\2\left(a+b\right)=a+2c=b+2c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=1,5\end{cases}}\)
Vây...
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)
\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)
\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)