Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}=\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}\)
áp dụng BDT CAUCHY SCHAWRZ
\(=>\dfrac{a^2}{ab+2ac}+\dfrac{b^2}{bc+2ab}+\dfrac{c^2}{ac+2bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{3\left(ab+bc+ac\right)}=1\)
cái chỗ bđt cauchy là bđt gì bạn có thể ghi cụ thể nó ra được ko ạ
Ta có \(a+b^2\le\dfrac{a^2+1}{2}+b^2=\dfrac{a^2+2b^2+1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a^2}{a+b^2}\ge\dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}=\dfrac{4a^4}{a^4+2b^2a^2+a^2}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
\(\dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\) \(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3}\)\(=\dfrac{4.3^2}{3^2+3}=3\).
Mà \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên ta có đpcm. ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(a+b+c=3\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Theo BĐT AM - GM ta có :
\(a^4+b^2\ge2a^2b\)
\(b^4+c^2\ge2b^2c\)
\(c^4+a^2\ge2c^2a\)
\(2a^2b^2+2a^2\ge4a^2b\)
\(2b^2c^2+2b^2\ge4b^2c\)
\(2c^2a^2+2c^2\ge4c^2a\)
Cộng từng vế BĐT ta được :
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\dfrac{3^2+3^2}{6}=3\)
Theo BĐT Cauchy schwarz dưới dạng en-gel ta có :
\(VT\ge\dfrac{9}{6+a^2b+b^2c+c^2a}=\dfrac{9}{9}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Viết lại BĐT:\(\dfrac{a^2b}{a^2b+2}+\dfrac{b^2c}{b^2c+2}+\dfrac{c^2a}{c^2a+2}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\sum\dfrac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^4b^2}}=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{b^2c}+\sqrt[3]{c^2a}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{9}\left(3a+3b+3c\right)=1\)
Suy ra đpcm