K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2.\left(a+b\right)=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}}\le\sqrt[3]{4}.\frac{c}{a+b}\)

Tương tự rồi cộng theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm

20 tháng 5 2018

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a, b, c đều dương. Do đó cả 2 vế đều dương.

Lập phương mỗi vế, ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

\(\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}< 8\cdot4=32\left(1\right)\)

Ta có \(\frac{a^3}{b^3+c^3}< \frac{2a^3}{a^3+b^3+c^3}\);\(\frac{b^3}{a^3+c^3}< \frac{2b^3}{a^3+b^3+c^3}\)và \(\frac{c^3}{a^3+b^3}< \frac{2c^3}{a^3+b^3+c^3}\)

Do đó \(\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}< 2< 32\)

Vì vậy bất đẳng thức (1) là đúng, nên bất đẳng thức đã cho là đúng

28 tháng 12 2016

2/

  • Chứng minh \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\) 

Ta có \(\sqrt{2}.\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

  • Chứng minh \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Bạn chứng minh bằng biến đổi tương đương

28 tháng 12 2016

1/ \(ab+bc+ac=3abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Ta có \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy min P = 3/2 tại a = b = c = 1

20 tháng 8 2016

3, \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}=\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}\le\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right).\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right).\);  \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right).\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)( đpcm )

dấu " = " xẩy ra khi a = b = c > 0

22 tháng 12 2019

\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\left(b^2+c^2\right)^2}{b+c}}}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt[3]{\frac{\left[\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]^2}{b+c}}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt[3]{4}a}{b+c}\)

Xet

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow VT< 2\sqrt[3]{4}\)

23 tháng 5 2021

em cảm ơn ạ

13 tháng 10 2016

đi ,nt ,mình giải cho

13 tháng 10 2016

nt là gì