K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
25 tháng 9 2019

\(3=ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Ta có: \(\frac{a^3}{b^2+3}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

Mặt khác \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{c^3+3}+\frac{a+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3b}{4}\) ; \(\frac{c^3}{a^2+8}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3c}{4}\)

Cộng vế với vế:

\(P+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

24 tháng 2 2020

\(VT=\frac{a^3}{b^2+8}+\frac{b^3}{c^2+8}+\frac{c^3}{a^2+8}\)

\(=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ca}\)

\(=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\\\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{c+a}{8}\ge\frac{3b}{4}\\\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{a+b}{8}\ge\frac{3c}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy BĐT được chứng minh . Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 8 2019

Lời giải:

Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ac}\)

\(=\frac{a^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{8.8}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3c}{4}\)

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

\(\text{VT}\geq \frac{a+b+c}{4}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2020

Lời giải:

Ta thấy:

\(\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})\)

\(=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}\)

\(=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)

\(\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Có:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$

$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$

Do đó:

$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ \(=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mày chỉ tao SOS đi :((

NV
22 tháng 6 2020

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)

Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{a+b+c}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2020

Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq 1(*)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{bc(2a^2+bc)}+\frac{1}{ac(2b^2+ac)}+\frac{1}{ab(2c^2+ab)}\geq \frac{9}{bc(2a^2+bc)+ac(2b^2+ac)+ab(2c^2+ab)}=\frac{9}{(ab+bc+ac)^2}=\frac{9}{3^2}=1$

Do đó BĐT $(*)$ đúng. Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

NV
3 tháng 7 2020

4.

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

5.

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

NV
3 tháng 7 2020

1.

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

2.

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)

3.

Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:

\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)