Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử:
\(a>b>c\Rightarrow a-b>0,b-c>0,a-c>0\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2\ge a^2+c^2\\\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)^2}{2}\ge\frac{8}{\left(a-c\right)^2}\end{cases}}\)
Từ đây ta có:
\(VT\ge\left(a^2+c^2\right).\frac{9}{\left(c-a\right)^2}\)
Ta chứng minh
\(\left(a^2+c^2\right).\frac{9}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\ge0\)(Đúng)
Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng. Dấu = xảy ra khi a = - c; b = 0 và các hoán vị của nó
Ta có: \(VT=\frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)
\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\frac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\right]\)
\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right]\)
\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2+2\ge2\) \(\left(Q.E.D\right)\)
Điều kiện là các số đôi một khác nhau:
Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\) BĐT trở thành:
\(\frac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z^2}{\left(x-y\right)^2}\ge2\)
Bạn tham khảo ở đây:
Câu hỏi của tư mã chiêu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
