Question

[Cà Bui]

Cho a,b,c và x,y,z,w >0 thỏa:

\(\hept{\begin{cases}ab+ac=x\\bc+ab=y\\ac+bc=z\end{cases}}\)và \(\omega=abc\)

Tìm Min của A= \(\frac{2\left(a^3c+b^3a+c^3b\right)}{\omega\left(x+y+z\right)}\cdot\left(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\right)\)

P/s: More difficult this time. I guess. 

Proposed: Cà Bui

Supporter: tth(CTV) 

Answer 1

[Cà Bui]

Cue: Chỉ cần thu gọn.... thì bài toán sẽ vô cung dễ. 

Answer 2

[Ahwi]

Quá ez, nhưng cũng khá khen cho m đấy tth =))

\(A=\frac{2\left(a^3c+b^3a+c^3b\right)}{\omega\left(x+y+z\right)}.\left(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\right)\)

     \(=\frac{2\Sigma_{cyc}a^3c}{abc.\Sigma\left(ab+bc\right)}.\Sigma\frac{a^3}{ab+ac}\)

      \(=\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc\left(ab+bc+ca\right)}.\Sigma\frac{a^2}{b+c}\)

     \(\ge\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(áp dụng \(\Sigma ab\le\frac{\left(\Sigma a\right)^2}{3}\)và Cô-si dạng engel)

       \(=\frac{3\Sigma_{cyc}a^3c}{2abc\left(a+b+c\right)}\)

Ta đi chứng minh \(\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc\left(a+b+c\right)}\ge1\)thật vậy

Bđt \(\Leftrightarrow\frac{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}{a+b+c}\ge1\)

Có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}{a+b+c}\ge1\left(Q.E.D\right)\)

Nên \(A\ge\frac{3\Sigma_{cyc}a^3c}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" tại a=b=c và w=a³

P/S: 2 anh chị giỏi quá, nghĩ hẳn ra đề luôn , muốn solo toán với em không ? >: e lớp 7 thôi hà