K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 5 2018

bạn thế 2019=a+b+c de thoi ma

29 tháng 5 2018

Ta có: \(2019a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Rightarrow a+\sqrt{2019a+bc}\ge a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}\le\frac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự cộng vào suy ra điều phải chứng minh

22 tháng 7 2017

Sửa đề: GTLN

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^2+ab+ca+bc}}\)

\(=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}\)

\(=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b}{b+\sqrt{2019b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2019c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

25 tháng 1 2020

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

25 tháng 1 2020

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

27 tháng 5 2018

Ta có

\(\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\)

Áp dụng AM - GM : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}}\)

\(=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}}=\sum\dfrac{a}{a+a+\sqrt{bc}}\)

Tự làm tiếp

5 tháng 1 2017

Ap dông B§T C-S ta cã:

\(\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\)

\(\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\). T­uong tù ta cx cã: 

\(\frac{b}{b+\sqrt{2016b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2016c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta dc:

\(VT\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

P/s:may mk bi loi Unikey r` mk dg ban chua kip chinh lai bn gang doc