K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 6 2020

\(A=\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2}{6abc}\le\frac{ab+bc+ca}{2abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\frac{1}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

19 tháng 5 2017

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

9 tháng 8 2020

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

6 tháng 10 2019

\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{c+a}}\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}\)

Tương tự 2 cái còn lại cộng lại ta đc \(VT\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

6 tháng 10 2019

Cach khac

Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Ta co:

\(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)

Ta lai co:

\(\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)

Tuong tu:

\(\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

\(\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\) 

Vay \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

1 tháng 7 2017

Ta có  \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.1=3\)  \(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel

\(B=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

7 tháng 10 2015

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Tương tự với 2 số còn lại, cộng theo vế ta được kết quả cần tìm.

7 tháng 1 2020

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

7 tháng 1 2020

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

8 tháng 7 2019

\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Áp dụng BĐT cosi

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Tương tự 

=> \(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)

Lại có \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{9}{1}=9\)

=> \(A\ge\frac{9}{4}\)

MinA=9/4 khi a=b=c=3

18 tháng 2 2020

Có: \(9=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)

Từ đây: \(D=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{a+c}}.\sqrt{\frac{ab}{b+c}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1