K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 9 2017

Linh_Men bn tham khảo nha 

với a,b,c,d là số nguyên dương ta có 
a/(a+b+c+d) < a/(a+b+c) < a+d/(a+b+c+d) (1) 
b/(b+c+d+a) < b/(b+c+d) < b+a /(b+c+d+a) (2) 
c/(c+d+a+b) < c/(c+d+a) <c+b/(c+d+a+b) (3) 
d/(d+a+b+c) < d/(d+a+b) <d+c/(d+a+b+c) (4) 
cộng (1)+(2)+(3)+(4) vế theo vế 
=> 1 < a/(a+b+c) + b/(b+c+d) + c/(c+d+a) + d/(d+a+b) <2 
giữa 1 và 2 không có số nguyên z nào => điều phải c/m

27 tháng 10 2019

Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

11 tháng 9 2017

\(a^2+b^2=c^2+d^2\Leftrightarrow a^2-c^2=d^2-b^2\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(d-b\right)\left(d+b\right)\)

mà a+b=c+d <=> a-c=d-b <=>  \(\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(a-c\right)\left(d+b\right)\)

TH1: a-c\(\ne0\)<=>a+c=d+b<=>a-b=d-c cộng vế với vế với a+b=c+d (gt) <=> 2a=2d <=> a=d <=> b=c

=>a2006=d2006;b2006=c2006=>a2006+b2006=c2006+d2006

TH2: a-c=0 <=> a=c <=> b=d <=> a2006+b2006=c2006+d2006

Từ 2 trường hợp trên suy ra đpcm

8 tháng 4 2015

\(VT=\frac{a+b-\left(b+d\right)}{d+b}+\frac{\left(d+c\right)-\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(b+a\right)-\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{\left(c+d\right)-\left(a+d\right)}{a+d}\)

\(VT=\frac{a+b}{d+b}-1+\frac{\left(d+c\right)}{b+c}-1+\frac{\left(b+a\right)}{c+a}-1+\frac{\left(c+d\right)}{a+d}-1\)

\(VT=\left(a+b\right).\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(d+c\right).\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

Chứng minh đc bđt sau: Với x; y > 0 ta có  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Áp dụng ta có: \(VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{d+b+a+c}+\left(d+c\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\ge\frac{4.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=0\)

=> ĐPCM

 

19 tháng 2 2018

Cộng 4 vào vế trái nhá

\(VT+4=\left(\dfrac{a-d}{d+b}+1\right)+\left(\dfrac{d-b}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b-c}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c-a}{a+d}+1\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{d+b}+\dfrac{d+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{c+d}{a+d}\)

\(=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{d+b}+\dfrac{1}{c+a}\right)+\left(c+d\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)\)

\(\ge\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}+\left(c+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)

\(=\left(a+b+c+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)\(=4\)

\(\Rightarrow VT\ge0=VP\)(Đpcm)

29 tháng 12 2017

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có: 

Với a,b,c,d >0

\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\right)\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\right)\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+bc+cd+da+2ca+2bd}\)

Ta cần chứng minh : 

\(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+2ac+2bd\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ca+2bd\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng) 

\(\Leftrightarrow dpcm\)

NV
16 tháng 3 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)