Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4}a^2-ab+b^2\right)+\left(\frac{1}{4}a^2-ac+c^2\right)+\left(\frac{1}{4}a^2-ad+d^2\right)+\frac{1}{4}a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a, b, c, d thuộc R nên bất đẳng thức ban đầu đúng với mọi số thực a, b, c, d.
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d;\text{ }a=0\Leftrightarrow a=b=c=d=0\)
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
a: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
b: Bạn ghi lại đề đi bạn
Bài 2:
Ta có: M = a2+ab+b2 -3a-3b-3a-3b +2001
=> 2M = ( a2 + 2ab + b2) -4.(a+b) +4 + (a2 -2a+1)+(b2 -2b+1) + 3996
2M= ( a+b-2)2 + (a-1)2 +(b-1)2 + 3996
=> MinM = 1998 tại a=b=1
Câu 3:
Ta có: P= x2 +xy+y2 -3.(x+y) + 3
=> 2P = ( x2 + 2xy +y2) -4.(x+y) + 4 + (x2 -2x+1) +(y2 -2y+1)
2P = ( x+y-2)2 +(x-1)2+(y-1)2
=> MinP = 0 tại x=y=1
1) a2 - ab + b2 ≥ 0
<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0
<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0
2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2
<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
Bài 1:
Biến đổi tương đương thôi:
\((ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
Ta có đpcm
Bài 2: Áp dụng kết quả bài 1:
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\geq (ac+bd)^2\) do \((ad-bc)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên b xác định
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇔ a - 2 a b + b ≥ 0
⇒ a + b ≥ 2 a b ⇔ a + b 2 ≥ a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
<=> \(4a^2+4b^2+4c^2+4d^2\ge4ab+4ac+4ad\)
<=> \(\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+a^2\ge0\)
<=> \(\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+a^2\ge0\)luôn đúng
Vậy \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = 0; a - 2b = 0; a - 2c = 0; a - 2d = 0 <=> a = b = c = d = 0