K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 11 2016
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
PT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2c)(3-2a)(3-2b)$
$\Leftrightarrow abc\geq 12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)+27-8abc$
$\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27$
$\Leftrightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$
$\Rightarrow 2abc\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ac)-6(*)$
Mặt khác:
$\frac{8}{3}(ab+bc+ac)-6-[3(ab+bc+ac)-7]=1-\frac{ab+bc+ac}{3}$
$=\frac{(a+b+c)^2}{9}-\frac{ab+bc+ac}{3}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{9}\geq 0$
$\Rightarrow \frac{8}{3}(ab+bc+ac)-6\geq 3(ab+bc+ac)-7(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 2abc\geq 3(ab+bc+ac)-7$
$\Rightarrow 3(ab+bc+ac)-2abc\leq 7$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ (vô lý vì $c>\frac{3}{2}$)
Do đó dấu "=" không xảy ra nên $3(ab+bc+ac)-2abc< 7$ (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
\(a^2+1\ge2a\) ; \(\dfrac{b^2}{a^2}+1\ge\dfrac{2b}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b^2}+1\ge\dfrac{2}{b}\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+3\ge a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{b}+a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{b}\ge a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{b}+3\sqrt[3]{\dfrac{ab}{ab}}\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+3\ge a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{b}+3\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(3a^3+3b^3+3b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{27a^3b^6}+b^3=9ab^2+b^3\ge9ab^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0\)
N
17 tháng 9 2017
\(\sum\dfrac{a}{\left(a^2+1\right)+2b+2}\le\sum\dfrac{a}{2\left(a+b+1\right)}=\dfrac{1}{2}\)
13 tháng 4 2020
\(vp=\frac{a\left(1+b\right)+b\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\frac{2ab+a+b}{1+ab+a+b}\)
\(\ge\frac{a+b}{1+ab+a+b}\)
\(\ge\frac{a+b}{1+a+b}\)
7 tháng 12 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)
20 tháng 3 2020
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).