K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 9 2017

ap dung bdt am gm

\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)

tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)

\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)

tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co

\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)

dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

17 tháng 7 2018

Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2=a+2\sqrt{ac}+c=2b+2\sqrt{ac}\)(1)

Lại có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(Nhân cả tử & mẫu với \(\sqrt{a}+\sqrt{c}\))

\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(2)

Thế (1) và (2) => \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2b+\sqrt{ca}}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)(đpcm).

12 tháng 9 2018

kurokawa neko sau khi thay 1 vào 2 là 2\(\sqrt{ac}\)nha

NV
15 tháng 3 2020

\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\le1\)

\(\Rightarrow1\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge4\)

\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{8}\Rightarrow-\frac{1}{a+b}\ge-\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow M\ge4-\frac{1}{8}=\frac{31}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=4\)