Question

[Hậu Trần Đoàn Thanh]

Cho DABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Gọi H là trực tâm của DABC. Đường thẳng

BH cắt (O) tại K (K khác B).

a/ Chứng minh K đối xứng với H qua AC.

b/ M là một điểm nằm trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Gọi D, E, F lần lượt là hình

chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.

c/ Đường thẳng FD cắt đường thẳng KB và đường thẳng MH lần lượt tại N và I.

 Chứng minh tứ giác MFKN nội tiếp và I là trung điểm của MH.

Answer 1

[An Thy]

a) Ta có: \(\angle KAC=\angle KBC=90-\angle ACB=\angle HAC\)

mà \(AC\bot HK\Rightarrow\) H và K đối xứng với nhau qua AC

b) Ta có: \(\angle BEM+\angle BDM=90+90=180\Rightarrow BEMD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle BED=\angle BMD=90-\angle DBM\)

Tương tự \(\Rightarrow MEFC\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle FEC=\angle FMC=90-\angle MCA\)

mà \(\angle DBM=\angle MCA\) (ABMC nội tiếp)

\(\Rightarrow\angle BED=\angle CEF\) mà B,E,C thẳng hàng \(\Rightarrow D,E,F\) thẳng hàng

c) Ta có: \(\angle NKM=\angle BKM=\angle BCM=\angle EFM=\angle NFM\)

\(\Rightarrow MFKN\) nội tiếp mà \(MF\parallel NK(\bot AC)\)

\(\Rightarrow MFKN\) là hình thang cân \(\Rightarrow\angle MNH=\angle FKH=\angle FHK\) (K và H đối xứng qua AC)

\(\Rightarrow HF\parallel NM\) mà \(FM\parallel NH\) \(\Rightarrow MNHF\) là hình bình hành

có MN và HF là 2 đường chéo cắt nhau tại I

\(\Rightarrow I\) là trung điểm MH