Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\)
Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:
- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)
- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)
- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất
Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu
Vậy \(-3\le m< 3\)
cho em hỏi là tại sao m≠0 mà đkxđ của m lại là -3<m<3 ạ ?
\(h\left(x\right)=f\left(x^2+1\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2+1\right)\)
\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(x^2+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2+1=2\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)
Hàm có nhiều cực trị nhất khi \(h\left(x\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất
\(f\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x+C\)
\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=-\dfrac{199}{12}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x-\dfrac{199}{12}\)
\(x=\pm2\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow f\left(5\right)\approx-18,6\)
\(x=\pm1\Rightarrow x^2+1=2\Rightarrow f\left(2\right)\approx6,1\)
\(x=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)
Từ đó ta phác thảo BBT của \(f\left(x^2+1\right)\) có dạng:
Từ đó ta dễ dàng thấy được pt \(f\left(x^2+1\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất khi \(0< m< 6,1\)
\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên của m
- Với \(m=1\) thỏa mãn
- Với \(m\ne1\):
\(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2-10x+m+3\)
\(f\left(\left|x\right|\right)\) có số cực trị bằng \(2k+1\) với \(k\) là số cực trị dương của \(f\left(x\right)\) nên hàm có 3 cực trị khi \(f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm dương
TH1: \(f'\left(x\right)=0\) có 1 nghiệm bằng 0 \(\Rightarrow m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=-12x^2-10x\) ko có nghiệm dương (loại)
TH2: \(f'\left(x\right)=0\) ko có nghiệm bằng 0 nào \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) khi và chỉ khi nó có 2 nghiệm trái dấu
\(\Rightarrow ac< 0\Leftrightarrow3\left(m-1\right)\left(m+3\right)< 0\)
\(\Rightarrow-3< m< 1\)
Vậy \(-3< m\le1\)
- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)
- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)
\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:
ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)
Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương
\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)
Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)
\(y=\dfrac{x^2-m^2+2m+1}{x-m}\) đúng không nhỉ?
\(y'=\dfrac{x^2-2mx+m^2-2m-1}{\left(x-m\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi:
\(x^2-2mx+m^2-2m-1\ge0\) ; \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m^2-2m-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m\le-\dfrac{1}{2}\)
\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow x=0\)
Ta thấy \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến khi \(f\left(x\right)\ge0\)
\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) khi \(f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x>3\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x\ge-m\) ; \(\forall x>3\)
\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>3}\left(x^2-4x\right)\)
\(\Rightarrow-m\le-3\Rightarrow m\ge3\)
Ta có: f"(x) = 6x - 6m
f"(x) > 6x ⇔ 6x - 6m > 6x
⇔ - 6m > 0 ⇔ m < 0