Question

[Nguyễn Hoàng Bảo Trân]

Cho hpt : x - y = 1

(m+1)x +my= m+2

Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn x^2 + y^2 nhỏ nhất

Cứu mình vớiiii !!!!!

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Long]

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\left(1\right)\\\left(m+1\right)x+my=m+2\left(2\right)\end{matrix}\right.\) từ (1) ta được: \(y=x-1\) Thay vào (2) ta được: \(\left(m+1\right)x+m\left(x-1\right)=m+2\Leftrightarrow mx+x+mx-m=m+2\Leftrightarrow2mx+x=2m+2\Leftrightarrow\left(2m+1\right)x=2m+2\) ,để hpt có nghiệm duy nhất thì \(2m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne-\frac{1}{2}\). Hệ pt có nghiệm duy nhất khi \(m\ne-\frac{1}{2}\) là:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2m+2}{2m+1}\\y=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1+\frac{1}{2m+1}\\y=\frac{1}{2m+1}\end{matrix}\right.\) . Để \(x^2+y^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{2m+1}\right)^2+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2\) nhỏ nhất

\(\Rightarrow\) tìm gtnn của \(\left(1+\frac{1}{2m+1}\right)^2+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2\)\(\left(1+\frac{1}{2m+1}\right)^2+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2=1+\frac{2}{2m+1}+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2=1+\frac{2}{2m+1}+2\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2+\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{4}\right]+\frac{1}{2}=2\left(\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left(1+\frac{1}{2m+1}\right)^2+\left(\frac{1}{2m+1}\right)^2\) nhỏ nhất bằng 1/2. Dấu "\(=\)" xảy ra khi \(\frac{1}{2m+1}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m+1=-2\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\left(tman\right)\). Vậy m\(=-\frac{3}{2}\)

sai bạn sửa lại nhé

Answer 2

[Phạm Minh Quang]

gấp không bạn êy