Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\dfrac{2}{-10}=\dfrac{3}{-15}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\) cùng phương.
\(\left(-10;-15\right)=-5\left(2;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{b}=-5\overrightarrow{a}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\) ngược hướng.
b) \(\left(0;8\right)=\dfrac{8}{7}\left(0;7\right)\) nên \(\overrightarrow{v}=\dfrac{8}{7}\overrightarrow{u}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\) cùng hướng.
c) \(\left(-6;3\right)=3\left(-2;1\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=3\overrightarrow{m}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{m};\overrightarrow{n}\) cùng phướng và cùng hướng.
d) Hai véc tơ cùng phương và cùng hướng.
e) \(\overrightarrow{e}\) cùng hướng với véc tơ \(\overrightarrow{j}\); \(\overrightarrow{f}\) cùng hướng với véc tơ \(\overrightarrow{i}\).
Nên hai veca tơ \(\overrightarrow{e}\) và \(\overrightarrow{f}\) không cùng phương.
a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=2\left(3;-4\right)+3\left(2;5\right)=\left(6;-8\right)+\left(6;15\right)\)\(=\left(12;7\right)\).
b) \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(3;-4\right)-\left(2;5\right)=\left(1;-9\right)\).
c) Hai véc tơ \(\overrightarrow{c}=\left(m;10\right)\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương khi và chỉ khi:
\(\dfrac{m}{2}=\dfrac{10}{5}=2\Rightarrow m=4\).
a)
Ta có: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)
\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\)
Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng hướng.
b)
Ta có: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)
\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\)
Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) ngược hướng.
a) Vì \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow u \) vuông góc với mọi \(\overrightarrow v \).
Như vậy \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\)
Mặt khác: \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow x = y = 0\)
\( \Rightarrow k\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 0 = \overrightarrow u .\overrightarrow v \)
b) Vì \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k \ge 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)cùng hướng.
\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}} = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)
(|k|= k do k > 0)
c) Vì \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và \(k < 0\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)ngược hướng.
\( \Rightarrow \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o} \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| = - \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} \\ = - \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\left| k \right|.\sqrt {{x^2} + {y^2}} = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\end{array}\)
a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w \) là: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( { - 2 + 0 + \left( { - 2} \right);0 + 6 + 3} \right) = \left( { - 4;9} \right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow w + \overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow w = \overrightarrow v - \overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow w = \left( {0 - \sqrt 3 ; - \sqrt 7 - 0} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 7 } \right)\)
\({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\)
Hay hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)
a) Vì \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u = (x;y)\) nên A(x; y).
Tương tự: do \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)\) nên B (x’; y’)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (x;y) \Rightarrow O{A^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = {x^2} + {y^2}.\)
Và \(\overrightarrow {OB} = (x';y') \Rightarrow O{B^2} = {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = x{'^2} + y{'^2}.\)
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {x';y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\)
\( \Rightarrow A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2}.\)
c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:
\(\cos \widehat O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)
Mà \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = OA.OB.\cos \widehat O\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = OA.OB.\frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{ - \left( { - 2x'.x} \right) - \left( { - 2y'.y} \right)}}{2} = x'.x + y'.y\end{array}\)
A. Ta có: \(\frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 4 \ne \frac{3}{6}\) nên \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
B. Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 }}{1} = \frac{6}{{3\sqrt 2 }} = \sqrt 2 > 0\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương, hơn nữa là cùng hướng
Chọn đáp án B.
C. Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0.1 + 1.0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow i \bot \overrightarrow j \)
Vậy \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) không cùng phương.
D. Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 6}}\) nên \(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow d \) không cùng phương.
a) Ta có: \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w = ({x_3};{y_3}).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow v + \overrightarrow w = ({x_2};{y_2}) + ({x_3};{y_3}) = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + {y_3}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\end{array}\)
Và: \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w = \left( {{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}} \right) + \left( {{x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}.\)
b) Vì \({x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}\)\( = \left( {{x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3}} \right) + \left( {{y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\)
Nên \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \;\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)
c) Ta có: \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v = ({x_2};{y_2})\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\\overrightarrow v .\overrightarrow u = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \;\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \)
CHọn A