Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này ko dùng cô-si nhé, đề chỉ cho x,y là số thực và thỏa mãn \(xy\ge1\) chứ ko nói j đến dương, tham khảo bài lm của mk nhé:
BÀI LÀM
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}+\frac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(y-x\right)\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
đến đây bn tự giải thích và làm tiếp nhé
CÁCH 2: \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+y^2+x^2+x^2y^2}\)
Ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
Áp dụng BĐT trên ta có: \(x^2+y^2\ge2xy\) mà \(xy\ge1\) nên \(x^2+y^2\ge2\)
\(xy\ge1\) \(\Rightarrow\)\(\left(xy\right)^2=x^2y^2\ge1\)
Khi đó: \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2+x^2y^2}\ge\frac{2xy+1}{2xy+1+1}\ge\frac{2+2}{2xy+2}=\frac{4}{2\left(xy+1\right)}=\frac{2}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{2}{1+xy}\)hay \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (đpcm)
1.
\(p=2\Rightarrow p+6=8\) ko phải SNT (ktm)
\(\Rightarrow p>2\Rightarrow p\) lẻ \(\Rightarrow p^2\) lẻ \(\Rightarrow p^2+2021\) luôn là 1 số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số
2.
\(a^2+3a=k^2\Rightarrow4a^2+12a=4k^2\)
\(\Rightarrow4a^2+12a+9=4k^2+9\Rightarrow\left(2a+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)
\(\Rightarrow\left(2a+3-2k\right)\left(2a+3+2k\right)=9\)
\(\Leftrightarrow...\)
Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))
Ta có: x2 + y2 + xy .- 3x - 3y + 3 = 0
=>( x2 - 2x + 1) - x + ( y2 - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + ( -x + -y + xy +1) = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [ x(y-1) - (y-1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) = 0
=> (x-1)2 + 2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)2.(y-1)2 + 3/4.(y-1)2 = 0
=> [x-1+1/2(y-1) ]2 + 3/4.(y-1)2 = 0
Vì: [x-1+1/2(y-1) ]2 >= 0 với mọi x;y thuộc R
3/4.(y-1)2 >= 0 với mọi y thuộc R
=> (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)
=> (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)
=> x = y =1
Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.
