Question

[Trần Hoàng Thiên Bảo]

Cho tam giác AB, các đường cao tương ứng với a, b, c theo thứ tự là ha, hb, hc

Chứng minh rắng : nếu \(\frac{1}{h^2a}=\frac{1}{h^2b}+\frac{1}{h^2c}\)

thì tam giác ABC là tam giác vuông

Answer 1

[thanh niên nghiêm túc]

Xét tam giác ABC có: AB = c, BC = a, AC = b.Từ A dựng đường thẳng d // BC. Lấy B' đối xứng với B qua d.Ta nhận thấy: BB' = 2.h . Ta có: B B ′ 2 + B C 2 = B ′ C 2 BB′2+BC2=B′C2 \leq ( B ′ A + A C ) 2 (B′A+AC)2 . Suy ra: 4. h a 2 4.ha2 \leq ( c + b ) 2 − a 2 (c+b)2−a2 (1) Hoàn toàn tương tự: 4. h b 2 4.hb2 \leq ( c + a ) 2 − b 2 (c+a)2−b2 (2) 4. h c 2 4.hc2 \leq ( a + b ) 2 − c 2 (a+b)2−c2 (3) Từ (1)(2)(3) ta có: ( c + b ) 2 − a 2 + ( c + a ) 2 − b 2 + ( a + b ) 2 − c 2 (c+b)2−a2+(c+a)2−b2+(a+b)2−c2 \geq 4. ( h a 2 + h b 2 + h c 2 ) 4.(ha2+hb2+hc2) \Rightarrow ( a + b + c ) 2 (a+b+c)2 \geq 4. ( h a 2 + h b 2 + h c 2 ) 4.(ha2+hb2+hc2) (dpcm)