Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.
Lại có:
+ O là trọng tâm tam giác nên 
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Ta có: NA2 + NB2 + NC2 ngắn nhất
⇔ NO2 ngắn nhất vì R không đổi
⇔ NO ngắn nhất
⇔ N là hình chiếu của O trên d.
Gọi M(x, y)
⇒ MA2 = (x – 1)2 + (y – 2)2
MB2 = (x + 3)2 + (y – 1)2
MC2 = (x – 4)2 + (y + 2)2
MA2 + MB2 = MC2
⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (x + 3)2 + (y – 1)2 = (x – 4)2 + (y + 2)2
⇔ [(x – 1)2 + (x + 3)2 – (x – 4)2] + [(y – 2)2 + (y – 1)2 – (y + 2)2] = 0
⇔ (x2 – 2x +1 +x2 + 6x + 9 – x2 + 8x -16) + (y2 – 4y + 4 + y2 – 2y + 1 – y2 – 4y – 4) = 0
⇔ (x2 + 12x – 6) + (y2 – 10y + 1) = 0
⇔ (x2 + 12x – 6 +42) + (y2 – 10y + 1+ 24) = 42 +24
⇔ (x2 + 12x + 36) + (y2 – 10y + 25) = 66
⇔ (x + 6)2 + (y – 5)2 = 66.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(–6; 5), bán kính R = √66.
Gọi cạnh tam giác là a thì \(a=R\sqrt{3}\)
Do tính đối xứng của đường tròn và tam giác đều, không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên cung nhỏ BC
\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^0-\widehat{BAC}=120^0\)
\(\Rightarrow AM.BC=AB.CM+AC.BM\Leftrightarrow AM=BM+CM\)
\(\Rightarrow S=\left(BM+CM\right)^2+2BM^2-3CM^2\)
\(=3BM^2+2BM.CM-2CM^2\)
Lại có: \(BC^2=BM^2+CM^2-2MB.MC.cos\widehat{BMC}\)
\(=BM^2+CM^2+MB.MC\Rightarrow MB.MC=3R^2-BM^2-CM^2\)
\(\Rightarrow S=6R^2+BM^2-4CM^2\)
Gọi I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{BI}-4\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow BI=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}R\) ; \(CI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}R\)
\(S=6R^2+\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IM}\right)^2-4\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IM}\right)^2\)
\(S=6R^2+BI^2-4CI^2-3IM^2=10R^2-3IM^2\)
\(S_{max}\) khi \(IM_{min}\Rightarrow M\equiv C\Rightarrow S=CA^2+2CB^2=9R^2\)
Do M thuộc Oy, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(0;m\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1;-1-m\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3;2-m\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=MA^2+MB^2=1+\left(-1-m\right)^2+9+\left(2-m\right)^2\)
\(T=2m^2-2m+15=2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{29}{2}\ge\dfrac{29}{2}\)
\(T_{min}=\dfrac{29}{2}\) khi \(m=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow M\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\)
1.
Lấy điểm A' đối xứng với A qua Ox \(\Rightarrow A\left(-2;-1\right)\)
M có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)
Ta có \(AM+MB=A'M+MB\ge AB=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)
\(min=41\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M}=k\overrightarrow{A'B}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=k.4\\1=k.5\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};0\right)\)
2.
Gọi N là trung điểm BC
\(\overrightarrow{MA}.\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MN}=0\)
\(\Leftrightarrow2MA.MN.cosAMN=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}MA=0\\MN=0\\cosAMN=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv N\\\widehat{AMN}=90^o\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính AN
a, Gọi I là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
MA2 + MB2 + MC2 = k2
⇔ 3MI2 + 2\(\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+AB^2+AC^2+BC^2\) = k2
⇔ 3MI2 = k2 - 1014
⇔ MI = \(\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\) = const
Vậy M thuộc \(\left(I;\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\right)\)