K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 5 2019

a) \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'C}+S_{AA'B}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{CM}\)\(\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)

13 tháng 5 2019

A B C D A' I C' P x B' H

Vẽ Cx \(\perp\)CC' 

vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA cắt Cx tại P \(\Rightarrow\)CD = AC

C/m đc CC'AP là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)CC' = AP = PD ; \(\widehat{BAD}=90^o\)

Ta có : BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC

\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2

\(\Delta BAD\)vuông A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2

\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2 

\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 

\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2  . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC

Tương tự , 4BB'2 \(\le\)( AB + BC )2 - AC2 .  Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC

4CC'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC

Cộng 3 vế ta được : 4 ( AA'2 + BB'2 + CC'2 ) \(\le\)( AB + BC + AC )2 

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC

23 tháng 4 2020

tự kẻ hình nha bạn

a, có \(\hept{\begin{cases}S_{HBC}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\\S_{ABC}=\frac{BC\cdot AA'}{2}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{BC\cdot HA'}{2}\div\frac{BC\cdot AA'}{2}=\frac{HA'}{AA'}\)

có tương tự ta có \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}\)  và \(\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

23 tháng 4 2020

để mjnh làm tiếp câu b 

b, IN là pg của \(\widehat{AIB}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{NB}{IB}=\frac{NA}{AI}\) (tc)

\(\Rightarrow NB\cdot AI=IB\cdot NA\)

\(\Rightarrow NB\cdot AI\cdot CM=IB\cdot AN\cdot CM\left(1\right)\)

IM là pg của \(\widehat{AIC}\)  (gt)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{MC}{IC}\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC=AI\cdot CM\)

\(\Rightarrow AM\cdot IC\cdot NB=AI\cdot CM\cdot NB\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AN\cdot BI\cdot CM=BN\cdot CI\cdot AM\)

18 tháng 3 2020

Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:

Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.

C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ

=> CC'= AI

Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx

=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD

=> 2CC'=AD.

=> AB2+ AD2= BD2( Đlí PTG)

Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có:  (BD+CD)2>= BD2

Có: AB2+ AD2=BD2

=> (BD+CD)2>= AB2+ AD2

=>  (BD+CD)2>= AB2+ (2CC')2

=> (BD+CD)2>= AB2+ 4CC'

=>  (BD+CD)2- AB2>= 4CC'(1)

CMTT=> (AB+AC)2-BC2>= 4AA'(2)

            và (AB+BC)2- AC2>= 4BB'(3)

Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:

(AB+BC+AC)2>= 4(AA'2+BB'2+CC'2)

=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC

=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.

18 tháng 4 2016

. vẽ Cx vuông góc với CC' tại C

. Vẽ D là điểm đối xứng của A qua Cx, cắt Cx tại E

.Xét\(\Delta ACD\) có: CE vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ACD\) cân tại C => AC = CD

. Ta có tứ giác AECC' là hình chữ nhật ( Có 3 góc bằng 90 độ)

. => \(CC'=AE=\frac{1}{2}AD\) 

. Xét ba điểm B, C, D, ta có: \(BD\le BC+CD\)

. Áp dụng Đl Pitago vào tam giác vuông ABD, có:

\(AB^2+AD^2=BD^2\) => \(AB^2+\left(2CC'^2\right)\le\left(BC+CD\right)^2\) 

. <=>\(AB^2+4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2\) 

. <=> \(4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2-AB^2\) \(\left(1\right)\)

. C/m tương tự, ta có: \(4BB'\le\left(AB+BC\right)^2-AC^2\) \(\left(2\right)\)

\(4AA'\le\left(AB+AC\right)^2-BC^2\) \(\left(3\right)\)

. Từ \(\left(1\right)\) , \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra: \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\) (Phân tích mấy cái trên kia là ra)

. Suy ra: \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

. Vậy GTNN của \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) là 4 khi AB=BC=AC hay tam giác ABC đều

17 tháng 4 2016

các bn vẽ hình cho mk luôn nha!

19 tháng 4 2019

A B C A' B' C' H I M N

a) Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'B}+S_{AA'C}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)

b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)

19 tháng 4 2019

A B C A' H I I x D

vẽ Cx \(\perp\)CC' ; vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA  giao điểm Cx tại I

\(\Rightarrow\)CD = AC và tam giác C'CIA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\)CC' = AI = ID ; \(\widehat{BAD}=90^o\)

Ta có BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC

\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2 

\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2

\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2 

\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2

\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2   . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC

tương tự , 4BB'2 \(\le\) ( AB + BC )2 - AC2    Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC

4AA'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2   Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC

Suy ra : \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC hay tam giác ABC đều

 
12 tháng 8 2015

b)Do AI là phân giác

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)

Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)

Do IM là phân giác

=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)

=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)

=>AN.BI.CM=BN.IC.AM

13 tháng 4 2016

A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})

26 tháng 2 2018

a, Có : HA'/AA' = HA'.BC/AA'.BC = S AHB + S AHC / S ABC

Tương tự : HB'/BB' = S BHA + S BHC / S ABC ; HC'/CC' = S CHA + S CHB / S ABC

=> HA'/AA' + HB'/BB' + HC'/CC' = 2.(S AHC + S AHB + S BHC)/S ABC = 2

Tk mk nha

7 tháng 4 2019

a)

'

AA

'

HA

BC

'.

AA

.

2

1

BC

'.

HA

.

2

1

S

S

ABC

HBC

; (0,5đi

m)

Tương t

:

'

CC

'

HC

S

S

ABC

HAB

;

'

BB

'

HB

S

S

ABC

HAC

(0,5đi

m)

1

S

S

S

S

S

S

'

CC

'

HC

'

BB

'

HB

'

AA

'

HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC

(0,5đi

m)

b) Áp d

ng tính ch

t phân giác vào các tam giác ABC,

ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM

;

BI

AI

NB

AN

;

AC

AB

IC

BI

(0,5đi

m )

AM

.

IC

.

BN

CM

.

AN

.

BI

1

BI

IC

.

AC

AB

AI

IC

.

BI

AI

.

AC

AB

MA

CM

.

NB

AN

.

IC

BI

(0,5đi

m )

12 tháng 3 2021

c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó \(AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.

Ta có \(AH=CE=\dfrac{CF}{2}\).

Do đó \(CF^2+CB^2=BF^2\le\left(AB+AF\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\Rightarrow CF^2\le\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)\Rightarrow AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).

Bổ đề được cm.

Áp dụng ta có \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+BA-AC\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+AC-AB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}}=4\).

Vậy ta có đpcm.

12 tháng 3 2021

a) Ta có \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{HA'.BC}{AA'.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\).

Tương tự \(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}};\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\).

Do đó \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\).