Question

[Vũ Minh Toàn]

cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH. a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC. Từ đó suy ra AB^2=BH.BC b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân và MN=AH. c) Gọi K là giao điểm của AH và CM. Chứng minh BC=3AK

Answer 1

[Hello!]

a) Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao nên ta có:

∠BAH = ∠BAC và ∠ABH = ∠ABC (do cùng vuông góc với đường thẳng đứng)
Vậy tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC theo qui tắc góc - góc.

Do đồng dạng nên ta có:

\(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BH}{BC}\)

Từ đó suy ra:

AB² = BH \(\cdot\) BC

b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AM = MB = \(\dfrac{1}{2}AB\) và AN = CN = \(\dfrac{1}{2}AC\).

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, suy ra MB = NC. Vậy BMNC là hình thang cân.

Do MN là trung tuyến của tam giác ABC nên MN = \(\dfrac{1}{2}BC\) = AH (vì ABC là tam giác vuông cân).

c) K là giao điểm của AH và CM. Do MN // BC và MN = AH nên ta có tứ giác AMKN là hình bình hành. Suy ra AK = MN = AH.

Vì vậy, BC = BM + MC = BA + AC = 2AB = 3AK.