Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\widehat{OAC}+\widehat{OAB}=90^0;\widehat{OAC}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}\)
⇒ \(\widehat{AEF}+\widehat{OAC}=90^0\)⇒ \(\widehat{AKE}=90^0\Rightarrow AK\perp EF\)
Dễ chứng minh AEHF là hình chữ nhật nên AE=HF; AF=HE
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AEF vuông tại A có AK⊥EF, ta có:
\(AK.EF=AE.AF\)⇒\(\frac{AK}{AE}=\frac{AF}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AE^2}=\frac{AF^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HF^2}\) (1)
\(\frac{AK}{AF}=\frac{AE}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HE^2}\) (2)
Cộng (1) với (2) ta có :
\(AK^2.\left(\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\right)=\frac{AE^2+AF^2}{EF^2}=\frac{EF^2}{EF^2}=1\)
⇒ \(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)
1: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp (O)
2: góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ
=>AEHF là hình chữ nhật
góc OAC+góc AFE
=góc AHE+góc OCA
=góc ABC+góc ACB=90 độ
=>FE vuông góc AO
a) \(\Delta\)ABC vuông tại A có trung tuyến AO nên ^OAC = ^OCA. Do ^OCA = ^BAH (Cùng phụ ^HAC)
Nên ^OAC = ^BAH = ^ AEF (Do tứ giác AEHF là hcn)
Mà ^AEF + ^AFE = 900 => ^OAC + ^AFE = 900 => OA vuông góc EF (đpcm).
b) Biến đổi tương đương:
\(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)
\(\Leftrightarrow BE\sqrt{BC.CH}+CF\sqrt{BC.BH}=AB.BC\)(Nhân mỗi vế với \(\sqrt{BC}\))
\(\Leftrightarrow BE\sqrt{AC^2}+CF\sqrt{AB^2}=AB.BC\) (Hệ thức lương)
\(\Leftrightarrow BE.AC+CF.AB=AB.BC\)
\(\Leftrightarrow BH.AH+CH.AH=AB.BC\)(Vì \(\Delta\)EBH ~ \(\Delta\)HAC; \(\Delta\)FHC ~ \(\Delta\)HBA)
\(\Leftrightarrow AH\left(BH+CH\right)=AB.BC\)
\(\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\) (luôn đúng theo hệ thức lượng)
Vậy có ĐPCM.
Gọi G là trung điểm AH, I là trung điểm EF, MN là đtb tg ABC
Dễ thấy NG//BC;MG//BC nên M,N,G thẳng hàng
Xét tg AEF và tg HEF có AI;HI là trung tuyến ứng vs ch EF nên \(AI=HI=\dfrac{1}{2}EF\)
Do đó tg AIH cân tại I
Mà IG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên IG là đg cao hay \(IG\perp AH\left(1\right)\)
Xét tg AHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng ch AB nên \(AM=HM=\dfrac{1}{2}AB\)
Do đó tg AHM cân tại M
Mà MG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên MG là đg cao hay \(MG\perp AH\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MG//GI\)
Từ đó ta được M;G;I thẳng hàng
Do đó I;M;N thẳng hàng
Vậy trung điểm EF là I nằm trên đt cố định là đường trung bình MN của tg ABC
1: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
2: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)
4: \(4\cdot OE\cdot OF=2OE\cdot2OF=FE\cdot AH=AH^2\)
\(HB\cdot HC=AH^2\)
Do đó: \(4\cdot OE\cdot OF=HB\cdot HC\)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF tại M, cắt BC tại N.Gọi I là giao của AH và EF.
CMR: góc IAE = góc IEA.
Có tam giác MAE vuông tại M => góc MAE + góc MEA= 90 độ Hay góc NAB + góc IEA = 90 độ
Có tam giác ABH vuông tại H => góc ABH + góc HAE= 90 độ Hay góc NBA + góc IAE = 90 độ
=> góc NAB= góc NBA (phụ với hai góc bằng nhau)
=> tam giác NAB cân tại N
=> NA=NB
CM: NA=NC
=> NB=NC
=> N là trung điểm của BC
=> N trùng với I, M trùng với K.
mà AM vuông góc với EF
=> AK vuông góc với EF
Xét tam giác AEF vuông tại A có AK là đường cao
=> 1/AK2 = 1/AE2 + 1/AF2
Cm AE=HF, EH=AF
=> đpcm